Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 487
eindeutig bestimmt sind, war die Präzisierung “genau eine” recht eigentlich
überflüssig und nur dazu bestimmt, eventuellen Mißverständnissen vorzubeugen.
In der Menge aller Integralkurven ist diese Integralkurve nur noch
maximal und wird deshalb meist die maximale Integralkurve zu unserem
Anfangswert genannt.
Beispiel 5.1.13 (Ein Fall mit nicht eindeutigen Integralkurven). Bei
Vektorfeldern, die nicht stetig differenzierbar sind, kann es durchaus vorkommen,
daß zu einem vorgegebenen Anfangswert keine größte Integralkurve
existiert, weil etwa mehrere maximale Integralkurven mit ein und demselben
Anfangswert existieren, die auf dem Schnitt ihrer Definitionsbereiche nicht
übereinstimmen. Betrachten wir zum Beispiel auf R 2 das Vektorfeld A, für
das sämtliche verschobenen Kubiken γc(t) = (t + c, t 3 ) Integralkurven sind.
Wir haben ˙γc(t) = (1, 3t 2 ) und damit A(x, y) = (1, 3|y| 2/3 ). Maximale Integralkurven
sind in diesem Fall nicht nur die verschobenen Kubiken γc, sondern
auch alle Kurven, die längs einer verschobenen Kubik auf die x-Achse
hochsteigen und dann eine Weile auf der x-Achse entlanglaufen bevor sie auf
einer anderen verschobenen Kubik weitersteigen. In diesem Fall existieren
zwar maximale Integralkurven zu jedem Punkt, von Eindeutigkeit kann aber
keine Rede sein.
Beispiel 5.1.14 (Der Fall eindimensionaler Felder ohne Nullstellen).
Gegeben ein stetiges Vektorfeld ohne Nullstellen auf einer offenen Teilmenge
eines eindimensionalen Raums gibt es zu jedem Anfangswert genau eine
maximale Integralkurve. In diesem Fall brauchen wir also von unserem Vektorfeld
nicht einmal stetige Differenzierbarkeit zu fordern. In der Tat sei ohne
Beschränkung der Allgemeinheit U ⊂◦ R ein Intervall und unser stetiges Vektorfeld
ohne Nullstellen zeige in Richtung der positiven x-Achse, als da heißt,
es werde gegeben durch a : U → R>0. Integralkurven sind auf halboffenen
Intervallen I ⊂◦ R definierte differenzierbare Funktionen γ : I → U mit
˙γ(t) = a(γ(t)) ∀t ∈ I
Aus dieser Gleichung folgt für alle s, t ∈ I sofort
t − s =
t
s
˙γ(τ) dτ
a(γ(τ)) =
γ(t)
dx
γ(s) a(x)
= G(γ(t)) − G(γ(s))
für G : U → R eine Stammfunktion von 1/a. Nun wächst G sicher streng
monoton und hat folglich als Bild ein offenes Intervall J ⊂◦ R und für unsere
Integralkurve folgt γ(t) = G −1 (t + c) mit der Konstanten c = G(γ(s)) − s.
In anderen Worten ist
G −1 : J ∼ → U