Analysis

3. STETIGKEIT 157
3.3.4. Wir vereinbaren für die Differenz einer Menge X und einer einpunktigen
Menge {p} die abkürzende Schreibweise X\{p} = X\p.
Übung 3.3.5. Sei D ⊂ R eine Teilmenge. Genau dann ist p ∈ R Häufungspunkt
von D, wenn es eine Folge reeller Zahlen xn in D\p gibt mit
limn→∞ xn = p.
Definition 3.3.6 (Grenzwerte von Funktionen). Sei D ⊂ R eine Teilmenge,
p ∈ R ein Häufungspunkt von D und f : D\p → R eine Funktion.
Sei b ein weiterer Punkt aus R. Wir sagen, f(x) strebt gegen b für x → p
und schreiben
lim f(x) = b
x→p
genau dann, wenn es für jede Umgebung W des Grenzwerts b eine Umgebung
W ′ des Punktes p gibt mit f(W ′ ∩ D\p) ⊂ W.
3.3.7. Man beachte, wie elegant es gelingt, hier die Fälle ±∞ mithilfe des
Umgebungsbegriffs einzubinden. Natürlich reicht es auch hier wieder, die
Existenz von W ′ für jedes W aus einer Umgebungsbasis des Grenzwerts b
nachzuweisen. Ist f auf ganz D definiert, so meinen wir mit obiger Notation
stets implizit den Grenzwert der Einschränkung von f auf D\p. Der Grund
dafür, daß wir Grenzwerte nur an Häufungspunkten erklären, ist das folgende
Lemma.
Beispiele 3.3.8. Es gilt limx→∞ x = ∞, wir können ja in diesem Fall schlicht
W ′ = W nehmen. Für eine konstante Funktion f(x) = c gilt limx→p c = c,
hier können wir für jedes W einfach W ′ = R nehmen. Für D = N und p = ∞
spezialisiert der eben eingeführte Grenzwertbegriff zu unserem Grenzwertbegriff
für Folgen aus 2.1.16.
Lemma 3.3.9 (Eindeutigkeit des Grenzwerts). Seien D ⊂ R eine Teilmenge,
p ∈ R ein Häufungspunkt von D und f : D\p → R eine Funktion.
So folgt aus limx→p f(x) = a und limx→p f(x) = b bereits a = b.
Beweis. Durch Widerspruch. Wäre a = b, so gäbe es Umgebungen V von a
und W von b mit V ∩ W = ∅. Wir fänden Umgebungen V ′ und W ′ von p mit
f(V ′ ∩ D\p) ⊂ V und f(W ′ ∩ D\p) ⊂ W, mithin gälte
f(V ′ ∩ W ′ ∩ D\p) = ∅
Da aber V ′ ∩W ′ eine Umgebung von p ist und p ein Häufungspunkt von D gilt
notwendig V ′ ∩ W ′ ∩ D\p = ∅. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.