Analysis

342 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
Korollar 3.2.13 (Komplexer Stone-Weierstraß). In der Ringalgebra aller
stetigen komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Raum liegt
jede komplexe Unterringalgebra, die die Punkte unseres Raums trennt und
stabil ist unter der komplexen Konjugation, bereits dicht in Bezug auf die
Metrik der gleichmäßigen Konvergenz.
Beweis. Sei X unser kompakter Raum und B ⊂ C(X) unsere komplexe Unterringalgebra,
die die Punkte von X trennt und unter der komplexen Konjugation
stabil ist, in Formeln b ∈ B ⇒ b ∈ B. Man wende nun den Satz
von Stone-Weierstraß 3.2.7 an auf A = B ∩ C(X, R). Aus b ∈ B folgt Re b
und Im b ∈ A, denn es gilt Re b = (b + b)/2 und Im b = (b − b)/2 i . Also
trennt auch unser A die Punkte von X. Für f ∈ C(X) finden wir u, v ∈ A
mit | Re f(x) − u(x)| < ε/2 und | Im f(x) − v(x)| < ε/2 für alle x ∈ X, setzen
b = u + i v und folgern f − b < ε.
Definition 3.2.14. Eine Funktion f : R → C der Gestalt t ↦→ ν=n ν=−n dν
i νt e
mit dν ∈ C heißt ein trigonometrisches Polynom.
Satz 3.2.15 (Dichtheit trigonometrischer Polynome). Gegeben eine
stetige Funktion f : [0, 2π] → C mit f(0) = f(2π) gibt es für beliebiges ε > 0
ein trigonometrisches Polynom g = gε mit
|f(x) − g(x)| < ε ∀x ∈ [0, 2π]
Beweis. Sei S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} der Einheitskreis in der komplexen Ebene.
Wir betrachten die Abbildung E : [0, 2π] → S 1 , t ↦→ e i t , die anschaulich
gesprochen“unser Intervall zu einer Kreislinie zusammenbiegt”. Das Vorschalten
von E liefert eine Bijektion
(◦ E) : C(S 1 ) ∼ → {f ∈ C([0, 2π]) | f(0) = f(2π)}
wie man unschwer direkt einsehen und auch formal aus dem anschließenden
Lemma 3.2.16 folgern kann. Unter unserer Bijektion entsprechen nun aber
die trigonometrischen Polynome auf [0, 2π] genau den Funktionen der Form
n
ν=−n dνz ν auf der Kreislinie S 1 . Da gilt z = z −1 für alle z ∈ S 1 , dürfen
wir den Satz von Stone-Weierstraß für komplexwertige Funktionen 3.2.13
anwenden und folgern, daß das C-Erzeugnis der z ν dicht liegt in C(S 1 ). Der
Satz folgt.
Lemma 3.2.16. Ist f : X ↠ Y eine stetige Surjektion von kompakten
metrischen Räumen, so ist eine Abbildung g : Y → Z in einen weiteren
metrischen Raum Z stetig genau dann, wenn g ◦ f stetig ist.