Analysis

498 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
F − id auf (−η, η) × Cp(K, U) kontrahierend ist. Dazu rechnen wir
(F − id)(σ, ψ) − (F − id)(τ, γ) =
σ
Aψ − τ Aγ
∞
≤ |σ − τ|
Aψ
+ |τ|
Aψ − Aγ
∞
∞
≤ |σ − τ|(S/4S) + (ηL/4S)ψ − γ∞
≤ |σ − τ|/4 + ψ − γ∞/4
≤ (1/2)(τ − σ, γ − ψ)
falls im vorletzten Schritt η > 0 so klein ist, daß gilt ηL/S < 1. Dann
liefert uns der Umkehrsatz für stetige Abbildungen 4.1.10 wegen F : (0, κ) ↦→
(0, κ), daß es für τ > 0 hinreichend klein genau ein Urbild (τ, γτ) von (τ, κ)
unter F gibt, also genau eine Integralkurve γτ : K → U des reskalierten
Vektorfelds τA. Gehen wir etwa von K = [−β, β] aus, so ist γ(t) := γτ(τ −1 t)
eine auf (−τβ, τβ) definierte Integralkurve des Vektorfelds A zu p und die
Existenzaussage des Lemmas ist gezeigt. Seien andererseits γ : I → U und
φ : J → U Integralkurven mit demselben Anfangswert. Besteht I ∩ J nur
aus dem Nullpunkt, so ist die Behauptung eh klar. Sonst gibt es α > 0
mit I ∩ J ∩ [−α, α] halboffen und kompakt und in [−1/4S, 1/4S] enthalten,
und für alle τ ∈ [0, 1] sind die Abbildungen t ↦→ γ(τt) und t ↦→ φ(τt) auf
I ∩ J ∩ [−α, α] definierte Integralkurven zu p des reskalierten Vektorfelds τA.
Für hinreichend kleines τ > 0 gibt es aber nach dem, was wir gezeigt haben,
nur eine derartige Integralkurve, und damit folgt auch die zweite Behauptung
des Lemmas.
Ergänzung 5.2.5. Die allgemeinere Aussage 5.2.4 über lokale Existenz und
Eindeutigkeit der Integralkurven für partiell lipschitzstetige zeitabhängige
Vektorfelder folgt analog mithilfe der Abbildung
t
F : (τ, γ) ↦→ τ, γ − τ A(τs, γ(s)) ds
Satz 5.2.6 (Globale Existenz und Eindeutigkeit). 1. Gegeben ein lokal
lipschitzstetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines vollständigen
normierten reellen Raums gibt es zu jedem Anfangswert genau
eine größte Integralkurve.
2. Diese größte Integralkurve hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall,
und ist besagtes Intervall nach oben beschränkt, so verläßt die
fragliche Integralkurve für positive Zeiten jedes Kompaktum aus unserer
offenen Teilmenge irgendwann einmal endgültig.
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