Analysis

1282 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Vereinigung der Definitionsbereiche aller Integralkurven zu p ist. Wäre dieser
Definitionsbereich nicht offen, so enthielte er sein Supremum oder sein
Infimum. Dann könnten wir jedoch um die Bilder dieser Grenzpunkte auch
wieder Integralkurven mit offenem Definitionsbereich finden und ankleben
und unsere Integralkurve wäre nicht maximal gewesen. Bezeichne schließlich
A unser Vektorfeld und U seinen Definitionsbereich. Ist γ : [0, b) → U wäre
eine Integralkurve von A, deren Bild in einem Kompaktum K ⊂ U landet, so
ist wegen ˙γ(t) = A(γ(t)) ihre Geschwindigkeit ˙γ(t) beschränkt auf [0, b),
mithin wäre γ lipschitzstetig und besäße nach II.7.5.5 oder V.1.4.12 eine stetige
Fortsetzung γ : [0, b] → K. Die Integralform unserer Differentialgleichung
zeigt dann sofort, daß auch ˜γ eine Integralkurve von A sein muß, mithin
kann eine Integralkurve, die ganz in einem Kompaktum K ⊂ U verläuft,
schon einmal nicht maximal sein. Wir zeigen nun noch, daß eine maximale
Integralkurve ab einem gewissen Zeitpunkt auch nicht mehr in besagtes Kompaktum
zurückkehren wird. Dazu wählen wir ε > 0 derart, daß die Menge L
aller Punkte von X mit Abstand ≤ ε zu einem Punkt von K auch noch in
U enthalten ist. Da auch L kompakt ist, hat unsere Integralkurve dann auch
an allen Stellen aus L, die sie durchläuft, eine gleichmäßig beschränkte Geschwindigkeit.
Wann immer unsere maximale Integralkurve einen Punkt aus
K durchläuft, muß sie also noch für eine gewisse von diesem Punkt unabhängige
Zeitspanne innerhalb von L weiterlaufen, da sie ja auch L irgendwann
einmal verlässen muß und das nicht beliebig schnell tun kann. Sind wir näher
als diese Zeitspanne am oberen Ende des Definitionsbereichs unserer maximalen
Integralkurve, so kann unsere Integralkurve demnach keine Punkte aus
K mehr durchlaufen.
Korollar 4.2.6 (Homogene lineare Differentialgleichungen). Sei I ⊂
R ein halboffenes Intervall, V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
und M : I → End V lokal lipschitzstetig. So bilden die differenzierbaren
Abbildungen γ : I → V mit
˙γ(t) = M(t)γ(t) ∀t ∈ I
einen Untervektorraum L ⊂ Ens(I, V ), den Lösungsraum unserer Differentialgleichung,
und für jedes t0 ∈ I definiert das Auswerten einen Isomorphismus
L ∼ → V, γ ↦→ γ(t0), den Anfangswertisomorphismus.
4.2.7. Diese Aussage gilt sogar unter der schwächeren Bedingung M stetig,
aber dann wird der Beweis technischer.
Beweis. Daß unser Lösungsraum L ⊂ Ens(I, V ) ein Untervektorraum ist
und daß das Auswerten bei t0 linear ist, scheint mir beides offensichtlich.