Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 683
Ersetzen wir hier λ durch c 2 λ für c > 0, so ändert sich die mittlere Abbildung
um den Faktor c 2 und die beiden äußeren um den Faktor c −1 und die
Verknüpfung ändert sich folglich nicht.
2.4 Operationen mit komplexen Maßen
2.4.1. Im nächsten Abschnitt soll der zentrale Satz 2.5.7 gezeigt werden, nach
dem unter der Fouriertransformation die Faltung zweier Maße dem Produkt
ihrer Fouriertransformierten entspricht. Daraus kann man dann ohne große
Mühe den sogenannten “zentralen Grenzwertsatz” 2.5.18 ableiten, eine tragende
Säule der Wahrscheinlichkeitstheorie. Natürlich könnten wir uns stattdessen
auch auf die Faltung von Funktionen beschränken. Das wäre einfacher,
da dazu weniger Maßtheorie benötigt wird, aber konzeptionell scheint
es mir der falsche Zugang: Funktionen auf Vektorräumen kann man gar nicht
miteinander falten, und bei Funktionen auf dem R n gelingt es nur deshalb,
weil uns dort mit dem Lebesgue-Maß ein kanonisches Haarmaß zur Verfügung
steht, mithilfe dessen wir den Raum der integrierbaren Funktionen in
den Raum der komplexen Maße einbetten können. Um nun aber die Faltung
zweier Maße in 2.5.2 definieren zu können, müssen wir uns zunächst etwas
ausführlicher mit komplexen Maßen beschäftigen.
Definition 2.4.2. Gegeben ein komplexes Maß µ auf einem Meßraum (X, M)
erklärt man ein nichtnegatives reelles Maß |µ|, seine Variation, durch die
Vorschrift
|µ|(A) = sup |µ(Aν)|
wo das Supremum über alle Zerlegungen A = Aν von A in eine disjunkte
Vereinigung einer abzählbaren Familie von meßbaren Teilmengen gebildet
werden soll.
Übung 2.4.3. Gegeben ein komplexes Maß µ auf einem Meßraum (X, M)
nimmt seine in 2.4.2 erklärte Variation |µ| Werte in [0, ∞) an und ist ein
Maß auf M. Weiter ist µ ↦→ µ = |µ|(X) eine Norm auf dem Raum M(X)
der komplexen Maße auf X, die Variationsnorm. Jedes komplexe Maß µ
auf einem Meßraum läßt sich darstellen als Linearkombination von vier nichtnegativen
reellen Maßen in der Form
µ = µ1 − µ2 + i µ3 − i µ4
und so, daß zusätzlich gilt µr ≤ |µ| für 1 ≤ r ≤ 4 als da heißt µr(A) ≤ |µ|(A)
für jede meßbare Menge A ⊂ X. Hinweis: Im Fall eines rellen Maßes mag
man etwa mit µ1 = (|µ| + µ)/2 beginnen.