Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 591
Unsere meßbare k-Form ω können wir nun schreiben als die Differenz ω =
ω + − ω − zweier nichtnegativer Formen, indem wir etwa ω + erklären durch
ω + p = ωp für p ∈ M + und ω + p = 0 sonst. Wir müssen also setzen
M
ω = |ω + |(M) − |ω − |(M)
und es bleibt nur zu zeigen, daß diese Vorschrift auch tatsächlich eine Linearform
liefert. Hierbei ist nur die Additivität problematisch. Für je zwei
integrierbare nichtnegative Formen ω und η gilt jedoch offensichtlich
M
ω + η =
M
ω +
Im allgemeinen schreiben wir nun ω = ω + −ω − , η = η + −η − und ω+η = ρ =
ρ + − ρ − und folgern durch Einsetzen ω + + η + + ρ − = ω − + η − + ρ + . Wenden
wir darauf die Additivität des Integrals für nichtnegative Formen an, so folgt
sofort die Additivität des Integrals für beliebige integrierbare Formen.
7.5 Integration von Differentialformen: Praxis
Proposition 7.5.1 (Integration in lokalen Koordinaten). Sei M eine
k-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit in einem endlichdimensionalen
reellen Raum, ϕ : W → M eine Karte der Orientierung ε und ω
eine meßbare k-Form auf M, die außerhalb von ϕ(W ) verschwindet. So ist
ω integrierbar genau dann, wenn die reellwertige Funktion (ϕ ∗ ω)(e1, . . . , ek)
integrierbar ist auf W, und in diesem Fall gilt
M
ω = ε (ϕ
W
∗ ω)(e1, . . . , ek)λ n
Beweis. Für nichtnegative Formen ω ist das im Wesentlichen unsere Definition
7.4.16, für beliebige Formen folgt es mithilfe unserer Zerlegung ω =
ω + − ω − aus dem vorhergehenden Beweis von Satz 7.4.16.
7.5.2. Nach der Definition in Satz 7.4.16 und 7.4.2 ändern sich Integrierbarkeit
und Integral einer meßbaren Differentialform nicht, wenn wir ihre Werte
auf einer Untermannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension ändern. So können
wir in der Praxis bei “vernünftigen” Karten erreichen, daß unsere Differentialformen
außerhalb des Bildes der Karte verschwindet und die Proposition
greift.
M
η