Analysis

1380 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Beweis von Satz 2.2.1. Mit der Homotopieinvarianz des Wegintegrals 1.4.16
erhalten wir für die Umlaufzahl eines geschlossenen Weges γ um einen beliebigen
Punkt w außerhalb des Bildes von γ die Integraldarstellung
n = Um(γ, w) = 1
2πi
γ
1
z − w dz
Sie wird in der Funktionentheorie meist als Definition der Umlaufzahl genommen
und zeigt sofort die Eindeutigkeit unserer Umlaufzahl. Wir zeigen nun
noch die Existenz eines n wie im Satz behauptet, obwohl das im weiteren Verlauf
dieser Vorlesung keine Rolle mehr spielen wird. Sei γ : [a, b] → C × unser
geschlossener Weg. Wir zeigen zunächst, daß es einen Weg ˜γ : [a, b] → C gibt
mit γ = exp ◦˜γ, und das sogar zu jedem vorgegebenen Anfangspunkt ˜γ(a)
mit exp(˜γ(a)) = γ(a). Falls γ ganz in der geschlitzten Ebene C\R≤0 verläuft,
ist das klar, wir nehmen einfach
˜γ(t) = log(γ(t)) + 2πik
wobei log die Umkehrung von exp : R × (−πi, πi) ∼ → C\R≤0 bezeichnet und
k ∈ Z so gewählt wird, daß unser “hochgehobener Weg” ˜γ beim vorgegebenen
Anfangspunkt beginnt. Falls γ ganz in einer andersartig geschlitzten Ebene
C\R≥0w mit w ∈ C × verläuft, finden wir unsere Hochhebung analog. Im
allgemeinen wählen wir a = a0 < a1 < . . . < ar = b so, daß γ[ai−1, ai] jeweils
ganz in einer geschlitzten Ebene enthalten ist, wählen induktiv Hochhebungen
˜γi der γ|[ai−1,ai] so, daß ˜γi dort beginnt, wo ˜γi−1 aufhört, und setzen diese
stückweisen Hochhebungen dann zum gesuchten Weg ˜γ : [a, b] → C zusammen.
Nach III.1.1.6 haben wir natürlich ˜γ(b) = ˜γ(a) + 2πin für n ∈ Z, und
˜γ ist nach IV.3.5.4 homotop zum Weg β : [0, 2π] → C, t ↦→ ˜γ(a) + int. Dann
ist aber nach IV.3.5.5 auch γ = exp ◦˜γ homotop zu exp ◦β. Dieser Weg ist
aber offensichtlich in C × frei homotop zum Weg [0, 1] → C × , t ↦→ e 2πint , und
das zeigt im Satz die Existenz.
Vorschau 2.2.4. Der hier gegebene Beweis für die Eindeutigkeit der Umlaufzahl
ist zwar im Rahmen der Funktionentheorie bequem, scheint mir für sich
allein betrachtet jedoch unangemessen verwickelt. Ich ziehe den Beweis im
Rahmen der Topologie vor, der in ?? besprochen wird.
Vorschau 2.2.5. Der Begriff der Umlaufzahl ermöglicht auch eine noch allgemeinere
Fassung des Cauchy’schen Integralsatzes, die sogenannte Umlaufzahlversion
des Integralsatzes: Ist im Definitionsbereich einer holomorphen
Funktion ein geschlossener Weg gegeben, der keinen Punkt außerhalb
des Definitionsbereichs umläuft, so verschwindet das Wegintegral unserer
Funktion längs dieses Weges. Wir diskutieren seinen Beweis im Rahmen der
singulären Homologietheorie in ??.