Analysis

850 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
X ×Y Z → Z eigentlich ist. Insbesondere bedeutet das im Fall von einpunktigem
Z, daß alle Fasern einer eigentlichen Abbildung kompakt sind, und im
Fall einer kompakten Teilmenge K ⊂ Y ergibt sich mit 3.10.5 und 3.10.3, daß
die Urbilder von Kompakta unter eigentlichen Abbildungen kompakt sind.
Man kann zeigen, daß eine stetige Abbildung eigentlich ist genau dann, wenn
sie abgeschlossen ist und alle ihre Fasern kompakt sind.
Übung 3.10.7. Sind X → Y und X ′ → Y eigentlich, so auch (X ⊔ X ′ ) → Y .
Ist insbesondere Z → Y stetig und sind Teilräume X, X ′ ⊂ Z gegeben mit
X → Y und X ′ → Y eigentlich, so ist auch (X ∪ X ′ ) → Y eigentlich mit der
vorhergehenden Übung 3.10.5.
Proposition 3.10.8. Operiert eine kompakte topologische Gruppe G auf einem
Hausdorff-Raum X, so ist auch der Bahnenraum X/G Hausdorff.
Ergänzung 3.10.9. Ich hätte hier viel lieber einen Beweis gehabt, der das
Konzept eigentlicher Abbildungen vermeidet, aber mir ist keiner eingefallen.
Beweis. Wegen der Kompaktheit von G ist die Projektion G×X → X eigentlich.
Damit ist auch die Wirkung eigentlich als Komposition der Projektion
mit dem Homöomorphismus G × X ∼ → G × X, (g, x) ↦→ (g, gx). Damit ist
auch das Produkt der Wirkung mit der Identität auf X eine eigentliche Abbildung
G × X × X → X × X, und schalten wir id ×∆ davor, so erkennen
wir mit 3.6.7 und 3.10.5, daß die Abbildung
G × X → X × X
(g , x) ↦→ (gx, x)
eigentlich ist. Insbesondere ist ihr Bild Γ ⊂ X × X abgeschlossen und das
Komplement offen. Dann ist aber nach 3.8.1 und 3.8.2 auch das Bild dieses
Komplements in X/G × X/G offen und die Diagonale in X/G × X/G ist
folglich abgeschlossen.
Ergänzung 3.10.10. Ganz allgemein heißt die Operation einer topologischen
Gruppe G auf einem topologischen Raum X eigentlich genau dann, wenn
die Abbildung G × X → X × X, (g, x) ↦→ (gx, x) aus dem Beweis von
3.10.8 eigentlich ist. Die zweite Hälfte dieses Beweises zeigt, daß bei einer
eigentlichen Operation der Bahnenraum stets Hausdorff ist.
Übung 3.10.11. Gegeben eine kompakte Hausdorff’sche Gruppe enthält jede
Umgebung des neutralen Elements eine unter Konjugation stabile offene
Umgebung des neutralen Elements.