Analysis

13. STETIGE DARSTELLUNGEN VON LIE-GRUPPEN 1133
Jetzt wollen wir den Raum der k-endlichen Vektoren in ind g
b Cλ näher untersuchen.
Wir können diese induzierte Darstellung nach ?? ja identifizieren
mit (prod g
b C−λ) ∗ . Jetzt gehen wir zu komplexen Lie-Algebren über. Dazu erinnern
wir uns daran, daß g eine komplexe Lie-Algebra ist, und wählen darin
eine spaltende reelle Form gR mit spaltender Cartan hR ⊂ gR derart, daß
gilt Lie T = hR ⊗R C. So erhalten wir eine schieflinear Involution c : g → g
mit c(aX) = aX für alle X ∈ gR, a ∈ C. Weiter wählen wir eine Chevalley-
Involution σ : gR → gR mit σ/hR = − id . Ihre Komplexifizierung bezeichnen
wir ebenfalls mit σ : g → g. Dann ist die reell-lineare Involution ϑ = σ ◦c von
g eine Cartan-Involution, d.h. ihre Fixpunktmente ist die Lie-Algebra einer
maximal kompakten Untergruppe K von G. Benutzen wir nun die Identifi-
kationen
g ⊗R C ∼ → g × g
id ×c
→ g × g = g 2
mit X ⊗ a ↦→ (Xa, Xa), so entspricht die komplexifizierte Cartan-Involution
der Involution (X, Y ) ↦→ (σY, σX) von g×g und (Lie K)⊗R C entspricht dem
Bild der Einbettung g ↩→ g 2 , X ↦→ (X, σX). Ebenso geht b⊗RC unter unserer
Identifikation nach b 2 und h ⊗R C nach h 2 . Die Linearform λ : h → C wird
ein Paar (µ, ν) ∈ h ∗ × h ∗ , und da λ Differential ist eines Homomorphismus
λ : T → C x muß die Restriktion von λ auf Lie(T ∩ K) alias µ − ν ein ganzes
Gewicht sein. Wir erhalten so
ind g
b Cλ = (prod g2
b 2 C−λ) ∗ = (∆(−µ) ⊗C ∆(−ν)) ∗
wo die beiden Kopien von g auf den beiden Tensorfaktoren unabhängig operieren.
Nun beachten wir weiter
HomC(∆(−µ)⊗C∆(−ν), C) = HomC(∆(−µ), HomC(∆(−ν), C)) = HomC(∆(−µ), ∆(−ν) ∗ )
Verfolgen wir die Operation von k ⊗R C, so erkennen wir, daß die k-endlichen
Vektoren oben genau den Vektoren unten entsprechen, die ad-endlich sind für
die natürliche g-Bimodulstruktur auf HomC(∆(−µ), (∆(−ν) ∗ ) σ ). Das sind
aber nach ?? auch genau die ad-endlichen Vektoren von
HomC(∆(−µ), ∇(−ν))
13.5 Kohomologische Induktion
Definition 13.5.1. Ein Lie-Paar (g, K) = (g, K, i, a) ist ein Quadrupel
bestehend aus einer endlichdimensionalen komplexen Lie-Algebra g, einer
komplexen algebraischen Gruppe K, einem Homomorphismus i : k → g von
der Lie-Algebra k von K nach g, und einem Homomorphismus a : K → Aut g