Analysis

5. VEKTORRAUMBÜNDEL UND FELDER 911
5.1.8 (Anwenden von Gruppoidfunktoren auf Bündel). Gegeben eine
glatte Mannigfaltigkeit X, ein glattes n-dimensionales Vektorraumbündel p :
E → X im Sinne von 4.4.8.4 und ein glatter (m; n)-Gruppoidfunktor F über
R gibt es auf der disjunkten Vereinigung
F (E) :=
F (Ex)
x∈X
genau eine Struktur als glattes m-dimensionales Vektorraumbündel auf X
derart, daß für jede Bündelkarte f : U ×V → E mit U ⊂◦ X und dimR(V ) = n
die Abbildung U × F (V ) ↩→ F (E) gegeben durch (x, w) ↦→ (F (fx))(w) eine
Bündelkarte von F (E) ist. Hierbei verstehen wir fx als den Isomorphismus
fx : V ∼ → Ex gegeben durch f : (x, v) ↦→ fx(v). Um das einzusehen, muß
man nur prüfen, daß die Kartenwechsel der so erklärten Bündelkarten glatt
sind, und das folgt unmittelbar aus der Glattheit des Gruppoidfunktors F.
Wir können so zu jedem glatten Vektorraumbündel E insbesondere das duale
Bündel E ∗ , die äußeren Potenzen r E und die Tensorpotenzen E ⊗r bilden.
Wenden wir dahingegen den Identitätsfunktor Id auf ein Vektorraumbündel
E an, so erhalten wir trivialerweise Id(E) = E.
Übung 5.1.9. Man zeige: Gegeben stetige bzw. glatte Schnitte σ1, . . . , σr eines
Bündels E ist σ1 ∧. . .∧σr ein stetiger bzw. glatter Schnitt des Bündels r E.
5.1.10 (Gruppoidfunktoren mit mehreren Eingängen). Es scheint mir
sinnvoll, bereits hier die Sache noch etwas weiter zu treiben. So erklären
wir etwa einen (n; l, m)-Gruppoidfunktor über einem Körper k als einen
Funktor
B : Modk(l) × × Modk(m) × → Modk(n) ×
Im Fall k = R nennen wir ihn glatt genau dann, wenn die zugehörigen
Abbildungen auf Morphismenräumen glatt sind. Für beliebige l, m ∈ N ist
etwa die direkte Summe ein glatter (l + m; l, m)-Gruppoidfunktor (V, W ) ↦→
V ⊕ W, das Tensorprodukt ein glatter (lm; l, m)-Gruppoidfunktor (V, W ) ↦→
V ⊗ W, und das Bilden den Homomorphimenraums (V, W ) ↦→ Hom(V, W )
ebenfalls ein glatter (lm; l, m)-Gruppoidfunktor mit einer Vorschrift auf den
Morphismen, die der Leser selbst erraten mag. Die Verallgemeinerung auf
Gruppoidfunktoren mit mehr als zwei Eingängen scheint mir offensichtlich
und möge vom Leser selbst dazugedacht werden.
5.1.11 (Anwenden von Gruppoidfunktoren auf mehrere Bündel). Gegeben
auf einer glatten Mannigfaltigkeit X zwei glatte Vektorraumbündel
p : E → X und q : F → X der Dimensionen l und m sowie ein glatter
(n; l, m)-Gruppoidfunktor B über R gibt es auf der disjunkten Vereinigung
B(E, F ) :=
B(Ex, Fx)
x∈X