Analysis

906 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
4.10.13. In 4.10.17 geben wir sogar die vollständige Klassifikation aller topologisch
zyklischen Liegruppen, aber für den weiteren Fortgang der Theorie
ist das nicht mehr von Belang.
Beweis. Wir zeigen genauer, daß für a = (a1, . . . , ak) ∈ R k gleichbedeutend
sind:
(1) ā ∈ R k /Z k ist kein topologischer Erzeuger;
(2) Die Elemente 1, a1, . . . , ak sind linear abhängig über Q;
(3) Es gibt einen surjektiven stetigen Homomorphismus von Liegruppen
ϕ : R k /Z k ↠ R/Z mit ϕ(ā) = ¯0.
Hier ist (3) ⇒ (1) offensichtlich und (1) ⇒ (3) ergibt sich, da der Quotient
nach dem Abschluß des Erzeugnisses von ā ja nach 4.10.2 ein nichttrivialer
Torus sein muß. Weiter muß jeder Morphismus wie in (3) die Gestalt
(b1, . . . , bk) ↦→ n1b1 + . . . + nkbk
haben für geeignete n1, . . . , nk ∈ Z, nicht alle Null wegen der Surjektivität,
und ϕ(ā) = ¯0 bedeutet dann n1a1 + . . . + nkak = n0 für ein n0 ∈ Z und damit
(2). Dasselbe Argument zeigt aber auch (2) ⇒ (3). Folglich ist in der Tat
jeder kompakte Torus topologisch zyklisch.
Ergänzung 4.10.14. Im Verlauf des vorhergehenden Beweises haben wir unter
anderem gezeigt, daß für a = (a1, . . . , ak) ∈ R k genau dann Za + Z k in R k
dicht liegt, wenn 1, a1, . . . , ak linear unabhängig sind über Q. Der Beweis dieser
Aussage im Rahmen der Lie-Theorie scheint mir besonders transparent.
Ergänzende Übung 4.10.15 (Untergruppen reeller Vektorräume). Eine
Untergruppe L der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen
Vektorraums V ist abgeschlossen genau dann, wenn es in V eine linear unabhängige
Familie von Vektoren v1, . . . , vn gibt und ein k mit 0 ≤ k ≤ n
und
L = Rv1 + . . . + Rvk + Zvk+1 + . . . + Zvn
Hinweis: Eine abgeschlossene Untergruppe ist stets glatt und ihre Einszusammenhangskomponente
L ◦ ist abgeschlossen. Da V/L ◦ die Quotiententopologie
trägt, ist das Bild von L darin auch abgeschlossen. Man mag auch elementar
ohne alle Lietheorie mit 1.2.15 und 4.10.7 argumentieren.
Ergänzende Übung 4.10.16. Die diskreten Untergruppen von C × sind genau
die Gruppen, die von einer Einheitswurzel oder einer invertierbaren komplexen
Zahl außerhalb des Einheitskreises oder je einem Element dieser beiden
Arten erzeugt werden.