Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1221
wir schließlich ∂H
∂pl = yl, und da wir ja nur Wege im Phasenraum der Gestalt
ψ = (γ, ˙γ) betrachten, folgt als weitere Bewegungsgleichung
˙ql = ∂H
∂pl
Zusammenfassend erfüllt unsere Bewegung, aufgefaßt als Abbildung in den
Phasenraum und ausgedrückt in beliebigen Ortskoordinaten qi = xi und
den zugehörigen kanonischen Impulskoordinaten pi, also auch die Hamilton’schen
Gleichungen
˙ql = ∂H
∂pl
und ˙pl = − ∂H
∂ql
3.4 Versuch, Überblick zu schaffen
für 1 ≤ l ≤ n.
Sei nun W ⊂◦ R n und ϕ : W ↩→ M eine Karte unserer Mannigfaltigkeit M
von Zwangsbedingungen, die wir n-dimensional annehmen. Wir verwenden
griechische Buchstaben ν, µ für Indizes mit 1 ≤ µ, ν ≤ N und lateinische
Buchstaben i, j, k, l für Indizes mit 1 ≤ i, j, k, l ≤ n. Wir schreiben ϕ(W ) =
U ⊂◦ M für das Bild unserer Karte
ϕ(x1, . . . , xn) = (r1(x1, . . . , xn), . . . , rN(x1, . . . , xn))
und verwenden oft die Abkürzung xi ◦ ϕ −1 = xi für die durch unsere Karte
gegebenen Koordinaten xi : U → R. Oft kürzen wir weiter auch xi ◦ γ zu xi
ab, so daß wir etwa schreiben können
γν(t) = rν(x1(t), . . . , xn(t))
3.4.1. Jetzt betrachten wir den sogenannten Phasenraum
TE N ⊗ 〈〈1/s〉〉 = E N × ( E N ⊗ 〈〈1/s〉〉)
der Gesamtheit unserer N Massepunkte. Ein Punkt dieses Phasenraums ist
also in Worten ein Paar bestehend
Weiter betrachten wir die Abbildung
K : TE N ⊗ 〈〈1/s〉〉 → 〈〈gm 2 /s 2 〉〉, ((rν, vν))ν ↦→
N
ν=1
〈vν, vν〉
mν
2
für rν ∈ E und vν ∈ E⊗〈〈1/s〉〉 und nennen sie die kinetische Energie. Nach
VI.1.6.13 ist nun das Tangentialbündel von M eine Untermannigfaltigkeit