Analysis

220 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
2. Durch wiederholtes partielles Integrieren erhalten wir
r(x) = x
p r′ (t) dt = x
p (x − t)r′′ (t) dt = 1
2
= . . .
= 1
n!
x
p (x − t)2 r ′′′ (t) dt
x
p (x − t)n r (n+1) (t) dt
5.2.6. Diese Abschätzungen liefern umgekehrt auch zwei alternative Beweise
für den Satz über die Taylorentwicklung. Allerdings benötigen diese alternativen
Beweise wesentlich stärkere Voraussetzungen als unser ursprünglicher
Beweis.
Ergänzende Übung 5.2.7. Ist eine Funktion auf einem offenen Intervall n-mal
stetig differenzierbar für n ≥ 1 und verschwinden an einer Stelle p alle ihre
höheren Ableitungen unterhalb der n-ten, so hat sie bei p ein isoliertes
lokales Maximum bzw. Minimum, falls n gerade ist und die n-te Ableitung
bei p negativ bzw. positiv, und kein lokales Extremum, falls n ungerade ist.
Wem diese Übung zu einfach ist, der mag dasselbe zeigen unter der schwächeren
Annahme, daß f (n−1) zwar bei p, aber nicht notwendig auf dem ganzen
Intervall differenzierbar ist.
5.3 Rechnen mit Approximationen
Definition 5.3.1. Seien f, g : D → R zwei auf einer Teilmenge D ⊂ R
definierte Funktionen. Sei p ∈ D ein Punkt und n ∈ N eine natürliche Zahl.
Wir sagen, f und g stimmen bei p überein bis zur Ordnung n und
schreiben
f ∼ n p g oder genauer f(x) ∼ n x=p g(x)
genau dann, wenn gilt f(p + h) = g(p + h) + h n ε(h) für eine Funktion ε, die
stetig ist bei Null mit Funktionswert ε(0) = 0, und die eben definiert ist auf
der Menge aller h mit p + h ∈ D.
5.3.2. Die Notation f ∼n p g scheint mir bequem und suggestiv, sie ist jedoch
unüblich. Häufig nennt man eine Funktion, die bei x = 0 mit der Nullfunktion
übereinstimmt bis zur Ordnung n, auch ein kleines o von xn und bezeichnet
so eine Funktion mit o(xn ). In dieser Notation würde man statt f ∼n p g
schreiben f(x) = g(x) + o((x − p) n ).
5.3.3. Natürlich folgt aus f ∼ n p g und g ∼ n p h schon f ∼ n p h. Sind P und
Q Polynome vom Grad ≤ n und ist p ein Häufungspunkt von D, so folgt
aus P ∼ n p Q schon P = Q. Der Satz über die Taylorentwicklung 5.2.2 liefert
uns für eine n-mal stetig differenzierbare Funktion f auf einem halboffenen
Intervall D das eindeutig bestimmte Polynom Q vom Grad ≤ n, das bei p mit
f übereinstimmt bis zur Ordnung n. Genauer besagt dieser Satz, daß dieses