Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 175
4 Differentiation und Integration
4.1 Differentiation
Definition 4.1.1. Wir nennen eine Teilmenge D ⊂ R halboffen genau
dann, wenn sie mit jedem Punkt auch ein ganzes Intervall umfaßt, das besagten
Punkt enthält und nicht nur aus diesem einen Punkt besteht.
4.1.2. Insbesondere ist also ein Intervall halboffen in diesem Sinne genau
dann, wenn es nicht aus einem einzigen Punkt besteht. In der Literatur wird
der Begriff “halboffen” meist abweichend verwendet für Intervalle, die weder
offen noch kompakt sind, also für reelle Intervalle der Gestalt (a, b] oder [a, b).
Bei uns heißen jedoch auch Intervalle der Gestalt [a, b] mit a < b halboffen, da
sie eben halboffen sind als Teilmengen von R im Sinne der obigen Definition.
Definition 4.1.3. Sei D ⊂ R eine halboffene Teilmenge und p ∈ D ein
Punkt. Eine Funktion f : D → R heißt differenzierbar bei p mit Ableitung
b ∈ R genau dann, wenn gilt
f(x) − f(p)
lim
x→p x − p
Wir kürzen diese Aussage ab durch f ′ (p) = b oder df
(p) = b oder, wenn die
dx
Funktion x ↦→ f(x) durch einen größeren Ausdruck in x gegeben ist, durch
d
f(x) = b
dx
x=p
4.1.4. Jede nicht vertikale, d.h. nicht zur y-Achse parallele Gerade in der
Ebene ist die Lösungsmenge genau einer Gleichung der Gestalt y = a+bx. Die
reelle Zahl b heißt in diesem Fall die Steigung unserer Gerade. Anschaulich
bedeutet der Differenzenquotient
f(x) − f(p)
x − p
die Steigung der Gerade durch die Punkte (p, f(p)) und (x, f(x)). Diese Gerade
heißt auch eine Sekante, lateinisch für “Schneidende”, da sie eben den
Graphen unserer Funktion in den beiden besagten Punkten schneidet. Der
Grenzwert f ′ (p) der Sekantensteigungen bedeutet anschaulich die Steigung
der Tangente, lateinisch für “Berührende”, an den Graphen von f im Punkt
(p, f(p)). Die Umkehrung dieser Anschauung liefert auch eine präzise Definition
besagter Tangente als der Gerade durch den Punkt (p, f(p)) mit der
Steigung f ′ (p).
= b