Analysis

654 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
{v ∈ H | 〈u, v〉 = 0 ∀u ∈ U} ein abgeschlossener Teilraum. Ist U bereits
selbst ein abgeschlossener Teilraum, so definiert die Addition eine Bijektion
U × U ⊥ ∼ → H
1.7.3. Alle Aussagen dieses Satzes mit Ausnahme der Surjektivität der Addition
U × U ⊥ → H gelten mit demselben Beweis auch für einen Prähilbertraum
H. Um die Surjektivität zu erhalten, muß man jedoch im Fall eines
Prähilbertraums zusätzlich fordern, daß U ⊂ H ein vollständiger Teilraum
sein soll. Der Beweis ist dann wieder derselbe. Im Fall eines Hilbertraums
sind nach II.7.5.3 und II.7.5.2 die vollständigen Teilräume genau die abgeschlossenen
Teilräume, im Fall eines Prähilbertraums ist die Forderung der
Vollständigkeit an einen Teilraum jedoch stärker.
Beweis. Sicher ist für alle x ∈ H die Abbildung H → C, v ↦→ 〈x, v〉 stetig
und linear. Das Urbild x⊥ von 0 ∈ C unter dieser Abbildung ist also ein
abgeschlossener Untervektorraum von H, und dann muß auch für beliebiges
U ⊂ H die Menge
U ⊥ = {v ∈ H | 〈x, v〉 = 0 ∀ x ∈ U} =
x ⊥
ein abgeschlossener Untervektorraum von H sein. Offensichtlich gilt weiter
U ∩U ⊥ = 0, und damit ist unsere Additionsabbildung im Fall eines Teilraums
U injektiv. Um für U einen abgeschlossenen Teilraum ihre Surjektivität zu
zeigen, wählen wir ein v ∈ H und setzen d = d(v, U) = infu∈U v − u.
Sicher gibt es eine Folge un von Vektoren aus U mit limn→∞ v − un = d.
Wir erinnern nun an die Parallelogrammregel ??, die Summe der Quadrate
der vier Seiten eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate der
beiden Diagonalen. Ist also eine Diagonale fast so lang wie der halbe Umfang,
so muß die andere Diagonale sehr kurz sein. In Formeln erhalten wir
2v − un 2 + 2v − um 2 = un − um 2 + 2v − un − um 2
= un − um 2 + 4v − (un + um)/2 2
Da aber (un + um)/2 auch in U liegt, folgt
2v − un 2 + 2v − um 2 − 4d 2 ≥ un − um 2
und aus dieser Abschätzung erkennt man, daß die un eine Cauchyfolge bilden.
Da U vollständig ist, gibt es also u ∈ H mit limn→∞ un = u. Da die Norm
stetig ist, gilt weiter d = v − u. Wir behaupten (v − u) ∈ U ⊥ . In der Tat,
für alle h ∈ U nimmt die Funktion
x∈U
t ↦→ v − u + th 2 = v − u 2 + 2t Re〈v − u, h〉 + t 2 h 2