Analysis

300 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Ergänzung 7.6.18. Die Abbildung γ aus der vorstehenden Übung liefert im
Übrigen auch eine Bijektion von Q auf die Punkte von S 1 \(−1, 0) mit rationalen
Koordinaten. Diese Bijektion ist äußerst hilfreich bei der Bestimmung
aller pythagoreischen Zahlentripel, d.h. aller Tripel a, b, c von natürlichen
Zahlen mit a 2 + b 2 = c 2 . Die Abbildung γ aus der vorstehenden Übung liefert
allgemeiner sogar für jeden Körper k einer von Zwei verschiedenen Charakteristik
eine Bijektion von k auf das Komplement des Punktes (−1, 0) in der
Lösungsmenge der Gleichung x 2 +y 2 = 1 in der Ebene k 2 = k×k. In der algebraischen
Geometrie können Sie dann lernen, wie man das zu einer Bijektion
von P 1 k mit der Quadrik Q ⊂ P 2 k erweitert, die durch die homogenisierte
Gleichung x 2 + y 2 = z 2 definiert wird.
Ergänzende Übung 7.6.19. Mithilfe der Relation tan(π/6) = 1/2 berechne
man π auf drei sichere Stellen hinter dem Komma. Es gibt im übrigen wesentlich
effizientere Verfahren zur Berechnung von π, vergleiche [Cou71].
Übung 7.6.20. Man finde Stammfunktionen zu den Kehrwerten quadratischer
Polynome, also zu Funktionen der Gestalt x ↦→ (x 2 + ax + b) −1 . Hinweis:
Hat das fragliche quadratische Polynom zwei verschiedene reelle Nullstellen
λ = µ, so kann man unsere Funktion in der Gestalt α/(x − λ) + β/(x − µ)
schreiben. Sonst bringe man sie in die Form ((x + a/2) 2 + d) −1 mit d ≥ 0 und
erinnere sich an arctan ′ (t) = 1/(1 + t 2 ).
Übung 7.6.21. Man finde eine Stammfunktion für den Arcustangens. Hinweis:
Man wende auf das Produkt 1 · arctan partielle Integration an.