Analysis

1220 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
ψ = (γ, ˙γ) : I → TM ⊗ T ∗ im Phasenraum und kürzen wieder pi ◦ ψ = pi ab,
so liest sich die l-te Euler-Lagrange-Gleichung als
˙pl = ∂L
∂xl
Hier ist die partielle Ableitung rechts noch im natürlichen Koordinatensystem
des Tangentialbündels (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) zu verstehen. Jetzt gehen wir
zum kanonischen Koordinatensystem (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) des Kotangentialbündels
über, das wir vermittels der vom massebehafteten Skalarprodukt
induzierten Bijektion auch als ein Koordinatensystem des Tangentialbündels
auffassen können. Obwohl die ersten n Koordinaten dieser beiden Koordinatensysteme
übereinstimmen, in Formeln xi = qi, sind die partiellen Ableitungen
auch nach diesen ersten Koordinaten doch im allgemeinen verschieden,
da sie ja auch vom Rest der Koordinaten abhängen. Das ist eben der Grund,
aus dem wir von nun an für ein- und dieselbe Funktion die zwei verschiedenen
Notationen xi = qi verwenden: Bei ∂/∂qi meinen wir von nun an partielles
Ableiten im Koordinatensystem (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn), bei ∂/∂xi dahingegen
partielles Ableiten im Koordinatensystem (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn). In diesen
Notationen finden wir dann
∂L
∂ql
∂K
∂ql
= ∂xi
∂ql
= 1
2
i
∂L
∂xi
∂yi
pi
∂ql
+ ∂yi ∂L
∂ql ∂yi
= ∂L
∂xl
+ ∂yi
pi
∂ql
Für H = 2K − L = K + V die totale Energie, auch genannt die Hamilton-
Funktion, ergibt sich damit ∂H ∂L = − , so daß wir unsere l-te Bewegungs-
∂ql ∂xl
gleichung auch in der Form
˙pl = − ∂H
∂ql
schreiben können. Andererseits gilt
∂H
∂pl
= ∂V
∂pl
+ ∂K
∂pl
= ∂xi ∂V
∂pl ∂xi
i
+ 1
2 yl + 1
2
i
∂yi
pi
∂pl
unter unserer Annahme, daß das Potential V nicht von den Geschwindigkeiten
yi abhängt. Da xi = qi nicht von den Impulsen abhängt, verschwindet
rechts der erste Summand. Der letzte Summand schließlich darf faserweise
berechnet werden, und auf jeder Faser bestehen lineare Beziehungen
yi =
j αijpj mit konstanten αij ∈ R. Die explizite Beschreibung dieser
linearen Beziehungen in 3.3.5 zeigt darüber hinaus αij = αji. So erkennen