Analysis

1. KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 311
1.2 Fundamentalsatz der Algebra
Satz 1.2.1 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes nicht konstante komplexe
Polynom besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.
1.2.2. Der im folgenden wiedergegebene Beweis von Jean-Robert Argand hat
den Vorteil, mit besonders wenigen technischen Hilfsmitteln auszukommen.
Einen Überblick über die gängigsten alternativen Beweise mit ihren Stärken
und Schwächen findet man in ??.
Beweis. Sei P unser Polynom. Wir zeigen zunächst, daß es eine Stelle p ∈ C
gibt, an der die Funktion C → R, z ↦→ |P (z)| ihr Minimum annimmt, in
Formeln |P (z)| ≥ |P (p)| ∀z ∈ C. In der Tat, nehmen wir irgendein u ∈ C her,
so gibt es offensichtlich R ∈ R derart, daß aus |z| ≥ R folgt |P (z)| ≥ |P (u)|.
Als stetige Funktion nimmt aber die Funktion z ↦→ |P (z)| auf der kompakten
Kreisscheibe {z | |z| ≤ R} ein Minimum an, sagen wir an der Stelle p, und
das muß dann auch das Minimum von |P (z)| auf ganz C sein. Wir zeigen
nun P (p) = 0 durch Widerspruch und müssen dazu nachweisen: Ist p ∈ C
gegeben mit P (p) = 0, so nimmt die Funktion z ↦→ |P (z)| bei p nicht ihr
Minimum an. Sei dazu erst einmal p ∈ C beliebig. Entwickeln wir P (p + w)
nach Potenzen von w, so erhalten wir
P (p + w) = P (p) + bw m + w m+1 Q(w)
mit b = 0, m ≥ 1 (da P nicht konstant ist) und einem geeigneten Polynom
Q. Nach 1.1.9 finden wir q ∈ C mit P (p) + bq m = 0 und sind fertig, sobald
wir zeigen können, daß unter der Annahme P (p) = 0 für hinreichend kleine
t > 0 gilt
|P (p + tq)| < |P (p)|
Das ist klar im Fall Q = 0 und wir müssen nur noch erklären, warum die Terme
der Ordung > m diese Ungleichung für kleines t nicht zerstören können.
Wir betrachten dazu die Abbildung R → C, t ↦→ P (p + tq) und erhalten
für ein geeignetes Polynom ˜ Q, also
P (p + tq) = P (p) − t m P (p) + t m+1 ˜ Q(t)
|P (p + tq)| ≤ (1 − t m )|P (p)| + t m |t ˜ Q(t)| für t ∈ [0, 1]
Gilt nun P (p) = 0 und wählen wir t ∈ (0, 1) hinreichend klein für die Ungleichung
|t ˜ Q(t)| < |P (p)|, so folgt |P (p + tq)| < |P (p)| und wir sind fertig.