Analysis

1358 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Korollar 1.6.5 (Goursat). Die Ableitung jeder holomorphen Funktion ist
auch selbst wieder holomorph.
Beweis. Übung 1.2.20 zeigt, daß die rechte Seite der Cauchy’schen Integralformel
1.6.1 beliebig oft komplex nach w abgeleitet werden kann. Das liefert
für die höheren Ableitungen einer holomorphen Funktion f, die auf einer
offenen Umgebung einer abgeschlossenen Kreisscheibe K definiert ist, sogar
die explizite Darstellung
f (n) (w) = n!
2πi
∂ K
f(z)
dz
(z − w) n+1
Satz 1.6.6 (Liouville). Jede holomorphe auf der ganzen komplexen Zahlenebene
definierte und beschränkte Funktion ist konstant.
1.6.7. Eine auf der ganzen komplexen Zahlenebene definierte holomorphe
Funktion heißt auch eine ganze Funktion. Einen alternativen Beweis für
den Satz von Liouville geben wir in 2.1.5.
Beweis. Lassen wir bei der Darstellung der Ableitung vom Ende des vorhergehenden
Beweises zu 1.6.5 den Radius R nach Unendlich streben, so strebt
die Länge des Integrationsweges linear mit dem Radius nach Unendlich, das
Supremum der zu integrierenden Funktion aber ist für R > |w| betragsmäßig
beschränkt durch eine beliebige obere Schranke von |f| multipliziert mit
(R − |w|) −2 , fällt also salopp gesprochen quadratisch mit dem Radius, wenn
der gegen Unendlich strebt. Also gilt f ′ (w) = 0 für alle w ∈ C.
1.6.8 (Fundamentalsatz der Algebra). Ich erinnere den an Fundamentalsatz
der Algebra ??: Jede Polynomfunktion ohne Nullstelle P : C → C
ist konstant. Wir zeigen das nun mit den Mitteln der Funktionentheorie. Da
für jedes Polynom P positiven Grades gilt limz→∞ |P (z)| = ∞, ist für jede
Polynomfunktion ohne Nullstelle aber 1/P eine beschränkte holomorphe
Funktion. Nach dem Satz von Liouville 1.6.6 ist dann 1/P und folglich auch
P konstant.
Satz 1.6.9 (Morera). Eine stetige komplexwertige Funktion auf einer offenen
Teilmenge der komplexen Zahlenebene ist holomorph genau dann, wenn
für jedes achsenparallele ganz in unserer Teilmenge enthaltene Rechteck das
Randintegral verschwindet.
Ergänzung 1.6.10. Eine in der Literatur oft bewiesene schwächere Variante
besagt, daß eine stetige komplexwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge
der komplexen Zahlenebene holomorph genau dann ist, wenn ihr Wegintegral
über jeden “Dreiecksrand” verschwindet, sobald die ganze “Dreiecksfläche” im
Definitionsbereich unserer Funktion liegt.