Analysis

408 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für beliebige a, b ∈ A
insbesondere b b
df = f ′ (t) dt = f(b) − f(a)
a
a
Beispiel 3.3.3. Für einen beliebigen stetig differenzierbaren Weg γ und ein
beliebiges Kovektorfeld ω hat nun das mit dem Weg zurückgeholte Kovektorfeld
gerade die Gestalt γ∗ω = ωγ(t) (γ ′ (t)) dt, so daß wir mit unserer Notation
aus 3.3.2 die Definition des Wegintegrals umschreiben können zur Identität
b
ω = γ ∗ ω
γ
Diese Darstellung ist für explizite Rechnungen besonders praktisch. Integrieren
wir etwa das Kovektorfeld ω = x dx + x4 dy auf dem R2 über den Weg
γ : [1, 2] → R2 gegeben durch γ(t) = ( √ t, log t), so erhalten wir
ω = γ γ x dx + x4 dy
√ √ √
4 t d( t) + ( t) d(log t)
= 2
1
= 2
1
a
√ t 1
2 √ t dt + t2 t −1 dt
= 2 1 ( + t) dt = 2
1 2
Lemma 3.3.4 (Anschauung für das Wegintegral). Sei γ : [a, b] → A
ein stetig differenzierbarer Weg in einer halboffenen Teilmenge A eines endlichdimensionalen
reellen Raums X und sei ω : A → X∗ ein stetiges relatives
Kovektorfeld auf A. Betrachtet man in der Situation der Definition
des Wegintegrals 3.3.1 für alle r ≥ 1 die äquidistanten Unterteilungen
a = a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ar = b und bildet die Riemannsummen
S r r
γ(ω) = ωγ(ai) (γ(ai) − γ(ai−1))
i=1
so ist unser Wegintegral der Grenzwert der Folge von Riemannsummen
ω = lim S
r→∞ r γ(ω)
γ
Beweis. Sei eine Norm auf dem Richtungsraum X und bezeichne
auch die zugehörige Operatornorm auf X ∗ . Nach II.3.5.5 ist unser Integral
der Grenzwert der Folge von Riemannsummen
S r =
r
ωγ(ti) (γ ′ (ti)) · (ti − ti−1)
i=1