Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1249
Anschaulich bedeutet ∇ξη = 0 im Lichte von 3.13.7, daß η “entlang der Flußlinien
von ξ parallel ist”. Wäre etwa ξ ein glattes Vektorfeld auf der Sphäre,
das nur an den Polen verschwindet und sonst tangential zu den Breitengraden
ist, so würde ∇ξη = 0 genau für diejenigen glatten Vektorfelder η gelten,
die invariant sind unter allen Rotationen, die die Pole festhalten.
3.13.9 (Zusammenhänge in Vektorraumbündeln). Allgemeiner versteht
man unter einem Zusammenhang in einem beliebigen glatten Vektorraumbündel
E → M auf einer glatten Mannigfaltigkeit M eine R-bilineare Abbildung
S ∞ (TM) × S ∞ (E) → S ∞ (E)
(ξ , η) ↦→ ∇ξ(η)
die jedem glatten Vektorfeld alias Schnitt von TM und jedem glatten Schnitt
von E einen weiteren glatten Schnitt von E zuordnet und zwar so, daß wieder
für alle glatten Funktionen f ∈ C∞ R (M) unsere Regeln
∇fξ(η) = f∇ξ(η)
∇ξ(fη) = ξ(f) · η + f∇ξη
gelten. Die zweite dieser Bedingungen heißt wieder die Leibniz-Regel. Die
erste Bedingung sagt uns, daß wir für die C∞ R (M)-Operation auf dem ersten
(M)-lineare Abbildung
Tensorfaktor eine C ∞ R
S ∞ (TM) ⊗R S ∞ (E) → S ∞ (E)
vor uns haben. Sie muß nach ?? einer R-linearen Abbildung
S ∞ (E) → HomC ∞ R (M)(S ∞ (TM), S ∞ (E))
entsprechen und dann nach ?? auch einer R-linearen Abbildung
∇ : S ∞ (E) → S ∞ (T ∗ M ⊗ E)
Die Leibnizregel übersetzt sich in die Bedingung ∇(fη) = df ⊗ η + f(∇η)
an letztere Abbildung ∇.
3.13.10 (Der Raum der Zusammenhänge). Gegeben zwei Zusammen-
hänge ∇, ∇ ′ auf demselben Vektorraumbündel E ist ihre Differenz sogar eine
C∞ R (M)-lineare Abbildung
S ∞ (E) → S ∞ (T ∗ M ⊗ E)
alias ein glatter Schnitt von T ∗ M ⊗ End(E) alias eine (End E)-wertige 1-
Form. Die Zusammenhänge auf E bilden mithin einen affinen Raum mit
Richtungsraum S ∞ (T ∗ M ⊗ End(E)).