Analysis

668 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
selbe Beweis zeigt die analoge Aussage auch noch allgemeiner für lokal integrierbare
Funktionen, die auf offenen Teilmengen U ⊂◦ R n definiert sind:
Sie stimmen fast überall überein genau dann, wenn ihr Produkt mit jeder
Funktion aus C ∞ c (U) dasselbe Integral über U hat.
Beweis. In Formeln ausgedrückt müssen wir zeigen, daß die Abbildung
L 1
loc(R n ) → C ∞ c (R n ) ∗
f ↦→ (g ↦→ fg)
von unserem Raum lokal integrierbarer Funktionen in den Dualraum des
Raums aller glatten Funktionen mit kompaktem Träger eine Injektion ist.
Sicher reicht es, wenn wir zeigen, daß dieselbe Abbildungsvorschrift im Fall
reellwertiger Funktionen eine Injektion
L 1 loc(R n , R) ↩→ C ∞ c (R n , R) ∗
liefert. Sicher reicht es sogar zu zeigen, daß die Restriktion dieser Abbildung
auf die Teilmenge L 1 loc(R n , R≥0) aller nichtnegativen lokal integrierbaren
Funktionen injektiv ist. Diese Restriktion jedoch können wir schreiben
als die Verknüpfung von Injektionen
L 1 loc(R n , R≥0) ↩→ {Borelmaße auf R n } ↩→ C ∞ c (R n , R) ∗
wo die erste Abbildung jeder Funktion f das Borelmaß f(x) d n x zuordnet
und die zweite Abbildung jedem Borelmaß das Integrieren nach diesem Maß.
Hier ist die erste Abbildung injektiv nach IV.6.4.21 und die Zweite injektiv
nach IV.6.8.5 und die Proposition ist bewiesen.
2.1.28. Etwas feiner betrachten wir den Raum L 1 S(R n ) aller meßbaren fast
überall definierten Funktionen f : R n C mit der Eigenschaft, daß ihr
Produkt mit jeder Schwartzfunktion integrierbar ist. Offensichtlich erhalten
wir so einen Untervektorraum
L 1 S(R n ) ⊂ L 1 loc(R n )
und ebenso offensichtlich liegen alle L p -Funktionen ebenso wie alle stetigen
beschränkten Funktionen, ja sogar alle meßbaren Funktionen von höchstens
polynomialem Wachstum bereits in diesem Teilraum.
2.1.29. Wir bilden nun den algebraischen Dualraum S ∗ des Schwartzraums,
also den Raum S ∗ = HomC(S, C) aller Linearformen auf dem Schwartzraum
ohne irgendwelche Stetigkeitsannahmen. Nach 2.1.26 erhalten wir erst recht
eine Inklusion
int : L 1 S(R n ) ↩→ S ∗