Analysis

1114 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis von Satz 12.1.1. Gibt es in der isotypischen Komponente eλH ein
Paar linear unabhängiger Vektoren, so finden wir beschränkte Operatoren
F, G : eλH → eλH mit F G = GF und damit notgedrungen auch einen
Vektor v ∈ eλH mit F Gv = GF v. Nach 12.1.6 finden wir dann für alle ε > 0
ein Maß µ ∈ eλ M!(G)eλ mit
µw − F w ≤ εw
für alle w ∈ 〈v, Gv〉. Des weiteren finden wir für alle η > 0 ein Maß ν ∈
eλ M!(G)eλ mit
νw − Gw ≤ ηw
für alle w im Vektorraumerzeugnis 〈v, µv〉. Zusammen ergibt sich also das
folgende Bild, an dem an den senkrechten Strichen jeweils obere Schranken
für die Abstände der durch sie verbundenen Vektoren stehen:
F Gv
µGv
µνv
≤ε·G·v
≤µ·η·v
GF v
Gµv
νµv
≤G·ε·v
≤η·µ·v
und wo G und µ die Normen der entsprechenden Operatoren auf der
isotypischen Komponente meinen. Wählen wir erst ε hinreichend klein für
G und v und dazu unser µ und dann wieder η hinreichend klein für µ
und v, so finden wir µ, ν derart, daß die Abstände in den Vertikalen kleiner
werden als jede vorgegebene positive Schranke. Damit steht aber F Gv =
GF v im Widerspruch zur Identität µνv = νµv, die wir bereits aus 12.1.8
kennen.
12.2 Unitäre g-K-Moduln
Ist V eine unitäre Darstellung einer Liegruppe G, so gilt für je zwei glatte
Vektoren v, w ∈ V ∞ und jedes A ∈ Lie G die Identität
und daraus folgt sofort
〈exp(tA)v, w〉 = 〈v, exp(−tA)w〉
〈Av, w〉 = −〈v, Aw〉
und für Elemente der komplexifizierten Liealgebra D ∈ LieC G folgt
〈Dv, w〉 = −〈v, Dw〉