Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 513
das Tripel (X, M, µ) einen Maßraum. In Formeln fordern wir also für jede
abzählbare Familie (An)n∈N von paarweise disjunkten meßbaren Mengen die
Gleichheit
µ =
µ(An)
n∈N
An
Diese Gleichheit ist in [0, ∞] zu verstehen, das Symbol ⊔ deutet wie in ?? erklärt
an, daß die zu vereinigenden Teilmengen zusätzlich disjunkt sein sollen.
Über den Fall N = ∅ enthält unsere Forderung nach unseren Konventionen
I.3.1.18 insbesondere die Forderung µ(∅) = 0. Fordert man diese Bedingung
separat, so braucht man die große Formel nur noch für Folgen meßbarer
Mengen (An)n∈N zu fordern.
Ergänzung 6.1.10. Ein Maßraum, bei dem die ganze Menge Maß Eins hat,
heißt ein Wahrscheinlichkeitsraum. Mit diesem Wort geht allerdings eine
völlig andere Motivation, Intuition und Buchstabenwahl einher: Das Ziel ist
nun nicht mehr ein begrifflicher Rahmen zur Berechnung der Volumina einfacher
Körper und dergleichen, also die explizite Berechnung von Maßen vorgegebener
Mengen, sondern die mathematische Modellierung des Zufalls. Man
notiert Wahrscheinlichkeitsräume statt (X, M, µ) meist (Ω, A, P ) und denkt
sich dabei Ω als eine völlig unstrukturierte und von der speziell untersuchten
Fragestellung unabhängige Menge “von sich paarweise ausschließenden Möglichkeiten”,
und P (A) mit P wie “Probability” als die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten einer Möglichkeit aus A. Das Interesse konzentriert sich in
diesem Zusammenhang auf das Studium der Beziehungen zwischen sogenannten
Zufallsvariablen. Ganz allgemein versteht man unter einer Zufallsvariablen
eine Abbildung von Ω in einen weiteren Meßraum mit der Eigenschaft,
daß die Urbilder aller meßbaren Mengen meßbar sind. So würde etwa ein
gerechter Würfel modelliert durch eine Abbildung W : Ω → {1, . . . , 6} mit
W −1 (i) meßbar und P (W −1 (i)) = 1/6 für 1 ≤ i ≤ 6. Hier könnte Ω aus eben
diesen sechs Elementen bestehen, es könnte jedoch auch viel größer sein und
etwa aus allen möglichen Ausgängen eines einmaligen Würfelns mit hundert
Würfeln bestehen, von denen unser Würfel nur einer ist, oder Ω könnte aus
allen Paaren in {1, . . . , 6}×{an, aus} bestehen, bei denen der zweite Eintrag
erinnert, ob das Licht in dem Raum, in dem gewürfelt wurde, nun an oder
aus war. Ganz allgemein interessieren in der Wahrscheinlichkeitstheorie im
Wesentlichen nur diejenigen Konstruktionen und Definitionen, die veträglich
sind mit dem Zurückholen unter Verfeinerungen, d.h. unter Abbildungen
Ω ′ → Ω von einem weiteren Wahrscheinlichkeitsraum (Ω ′ , A ′ , P ′ ) nach Ω mit
der Eigenschaft, daß Urbilder meßbarer Mengen meßbar bleiben und dasselbe
Maß behalten wie die ursprüngliche Menge. Die meßbaren Teilmengen von Ω
heißen auch Ereignisse. Ist jede einelementige Teilmenge von Ω meßbar, so
n∈N