Analysis

3. ALGEBRAISCHE GRUNDBEGRIFFE 69
abstrakt additiv multiplikativ
a⊤b a + b a · b, a ◦ b, ab
e 0 1
¯ b −b 1/b
a⊤ ¯ b a − b a/b
n ⊤ a na a n
e⊤a = a⊤e = a 0 + a = a + 0 = a 1 · a = a · 1 = a
a⊤ā = e a − a = 0 a/a = 1
ā = a −(−a) = a 1/(1/a) = a
(−1) ⊤ a = ā (−1)a = −a a −1 = 1/a
(a⊤b) = ¯ b⊤ā −(a + b) = (−b) + (−a) (ab) −1 = b −1 a −1 ,
1/ab = (1/b)(1/a)
(a⊤ ¯ b) = b⊤ā −(a − b) = b − a 1/(a/b) = b/a
n ⊤ (m ⊤ a) = (nm) ⊤ a n(ma) = (nm)a (a m ) n = a nm
(m + n) ⊤ a = (m ⊤ a)⊤(n ⊤ a) (m + n)a = (ma) + (na) a (m+n) = (a m )(a n )
n ⊤ a = (−n) ⊤ a −(na) = (−n)a (a n ) −1 = a −n
0 ⊤ a = e 0a = 0 a 0 = 1
n ⊤ (a⊤b) = (n ⊤ a)⊤(n ⊤ b) n(a + b) = (na) + (nb) (ab) n = (a n )(b n )
Tabelle I.1: Konventionen und Formeln in verschiedenen Notationssystemen.
Bereits diese Tabelle muß mit einigen Hintergedanken gelesen werden, weil
die Symbole +, −, 0, 1 darin in zweierlei Bedeutung vorkommen: Manchmal
meinen sie konkrete Operationen in Z bzw. Elemente von Z, manchmal stehen
sie aber auch für Verknüpfung, Inversenbildung und neutrale Elemente
in abstrakten Monoiden. Es scheint mir eine gute Übung, die Tabelle durchzugehen
und allen Symbolen 0, 1 einen Hut aufzusetzen, wenn sie nicht ganze
Zahlen bedeuten.