Analysis

12. UNITÄRE DARSTELLUNGEN 1117
auf X. Operiert eine diskrete Gruppe G auf X durch Diffeomorphismen, so
wird offensichtlich L 2 (X) eine (reelle) unitäre Darstellung von G. Ist G eine
Lie-Gruppe und G × X → X eine C ∞ -Operation, so zeige man zur Übung,
daß L 2 (X) sogar eine unitäre Darstellung der topologischen Gruppe G wird.
Definition 12.4.5. Ist G ⊃ H eine Lie-Gruppe mit einer abgeschlossenen
Untergruppe und E eine unitäre Darstellung von H, so definieren wir eine
unitäre Darstellung
uind G
H E
von G, die unitär induzierte Darstellung, als die Vervollständigung des
Raums der stetigen Schnitte mit kompaktem Träger im Bündel D 1/2
G/H ⊗R
(G ×H E) über G/H.
12.4.6. Betrachten wir den Charakter δ : H → R × mit
δ(h) = | det(Ad h : g/h → g/h)| −1/2
so liefert jede Wahl einer von Null verschiedenen Halbdichte an der Stelle
1 ∈ G/H einen G-äquivarianten Bündelisomorphismus
G ×H Rδ
und damit G-äquivariante Einbettungen
∼
→ D 1/2
G/H
uind G
H E ←↪ Sc(D 1/2
G/H ⊗R (G ×H E)) ↩→ ind G
H(E ⊗R Rδ)
Ist speziell G/H kompakt, so erhalten wir eine stetige Einbettung mit dichtem
Bild ind G
H(E ⊗R Rδ) ↩→ uind G
H E.
Sei nun K ⊂ G kompakt. Das Bild der K-endlichen Vektoren aus ind
ist also ein dichter Teilraum von uind, und ist ind in Bezug auf K zulässig,
so induziert unsere Einbettung eine Bijektion zwischen den K-endlichen
Vektoren.
Wo???????? Um auch einmal eine unitäre Darstellungen anzugeben, greifen
wir der Entwicklung der Theorie etwas vor, setzen die in ?? ausgeführte
Definition eines Radon-Maßes als bekannt voraus und zeigen
Lemma 12.4.7. Es operiere eine lokal kompakte topologische Gruppe G
stetig auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum X und es sei µ ein Ginvariantes
Radon-Maß auf X. So ist L 2 (X, µ) unter der Operation durch
Translation eine unitäre Darstellung von G.