Analysis

1064 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Hausdorffraum, so ist auch der Bahnenraum Hausdorff. Hinweis: Man beginne
mit einem Punkt aus einer von zwei Bahnen und wähle dazu eine kompakte
Umgebung, die die andere Bahn nicht trifft. Die Aussage gilt im übrigen auch
ohne die Annahme lokal kompakt, aber dann kenne ich keinen so direkten
Beweis, vergleiche 3.10.8.
10.12.8. Wir schreiben die Gruppenstruktur des Charaktergitters X = X(T )
additiv in der Hoffnung, daß das der Anschauung hilft. Fassen wir Elemente
λ ∈ X(T ) dahingegen als konkrete Funktionen T → C auf, so schreiben wir
eλ , so daß also gilt eλ e µ = eλ+µ = eλ + e µ für λ, µ ∈ X(T ). Unsere Funktion
j erhält in diesen Notationen die Gestalt
j =
(1 − e α ) =
(e α −1)
α∈R
da ja die Zahl der Wurzeln gerade ist. Wir wählen nun ein System positiver
Wurzeln R + ⊂ R im Sinne von 8.3.2 und betrachten ihre Halbsumme ρ. Im
größeren Gruppenring C [〈R〉/2] des halbierten Wurzelgitters behaupten wir
nun, daß wir eine Art “Wurzel von j” auch als Summe schreiben können:
α∈R
Lemma 10.12.9 (Weyl’sche Nennerformel).
(e α/2 − e −α/2 ) =
α∈R +
w∈W
(−1) l(w) e wρ
10.12.10. Multiplizieren wir die linke Seite dieser Gleichung mit e ρ , so ergibt
sich das Produkt der Terme zu positiven Wurzeln aus unserer Produktdarstellung
der Funktion j. Die Funktion j selber ist also das Quadrat der Norm
der linken und dann natürlich auch der rechten Seite unserer Gleichung.
Hierfür brauche einige Info zu Spiegelungsgruppen! Ich habe aber 9 bereits
gemacht, das sollte reichen.
Beweis. Beide Seiten ändern ihr Vorzeichen unter Anwendung einer einfachen
Spiegelung, für die linke folgt das aus 8.3.4. Die linke Seite setzt sich
zusammen aus Summanden e λ mit λ ∈ ρ−|R + 〉, wo wir mit |R + 〉 das Monoid-
Erzeugnis meinen. Es reicht also zu zeigen, daß von diesen λ nur ρ selbst im
Inneren der dominanten Weylkammer liegt. Die fraglichen λ sind aber, soweit
sie im Abschluß der dominanten Weylkammer liegen, allesamt kürzer als ρ für
ein und jedes unter der Weylgruppe invariante Skalarprodukt, mit demselben
Argument wie im Beweis von ??. Wegen 9.1.2 kommt also nur λ = ρ in Frage.
Besseres Argument von Peter: Für alle von Null verschiedenen µ ∈ |R + 〉 gibt
es einfache Kowurzel, die darauf positiv ist, denn wo alle einfache Kowurzeln
nichtpositiv sind ist die antidominante Weylkammer.