Analysis

816 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ergänzende Übung 2.4.17. Man zeige, daß in einer endlichdimensionalen unitären
Darstellung einer Liegruppe jedes Element der Liealgebra als diagonalisierbare
Matrix mit rein imaginären Eigenwerten operiert. Man folgere,
daß jede endlichdimensionale unitäre Darstellung (V, ρ) der Gruppe SL(2; R)
konstant ist, in Formeln ρ(g) = id ∀g ∈ SL(2; R). Hinweis: Jede unitäre
endlichdimensionale Darstellung dieser Gruppe entsteht durch Restriktion
einer Darstellung von SL(2; C) und besitzt jedenfalls ein invariantes Skalarprodukt
unter der Restriktion auf SU(2), so daß auch su(2) ⊂ sl(2; C) mit
rein imaginären Eigenwerten operieren muß.
Ergänzende Übung 2.4.18. Wir erinnern an unsere (m+1)-dimensionale irreduzible
Darstellung C[X, Y ] m = L(m) der Spingruppe SU(2) aus dem Beweis
von 2.2.2 mit ihrer Basis wν = Y νX m−ν für 0 ≤ ν ≤ m. Man wähle ein invariantes
Skalarprodukt. In der Physik verwendet man statt m als Parameter
lieber m
1 = j ∈ N und bezeichnet die auf Länge Eins normierten Vektoren
2 2
wν mit
|j, j − ν〉 := wν/wν
Damit bilden dann die Vektoren |j, µ〉 für µ = j, j − 1, . . . , −(j − 1), −j eine
Orthonormalbasis von L(m). Schließlich schreibt man e = J+, f = J− und
h/2 = Jz. Man prüfe in dieser Notation die Formeln
Jz |j, µ〉 = µ |j, µ〉
J± |j, µ〉 = j(j + 1) − µ(µ ± 1) |j, µ ± 1〉
= (j ± µ + 1)(j ∓ µ) |j, µ ± 1〉
Hinweis: Beim Rechnen in mathematischer Terminologie mag man davon
ausgehen, daß e−f zu su(2; C) gehört, so daß nach 2.4.16 für jedes invariante
Skalarprodukt gelten muß 〈(e − f)wν, wν+1〉 + 〈wν, (e − f)wν+1〉 = 0.
2.5 Kugelfunktionen*
2.5.1 (Zerlegung von Funktionen auf der Kreislinie). In der unitären
Darstellung der Kreislinie S 1 ∼ = SO(2) auf dem Raum L 2 (S 1 ) der quadratintegrierbaren
Funktionen auf der Kreislinie durch Verschieben von Funktionen
tritt jede endlichdimensionale einfache Darstellung der Kreislinie genau einmal
als Unterdarstellung auf, in Formeln
dimC Hom S1
C
χn, L 2 (S 1 ) = 1 für alle n ∈ Z.
Des weiteren ist die Summe all dieser endlichdimensionalen Unterdarstellungen
ein dichter Teilraum des Hilbertraums L 2 (S 1 ), in dem sie im übrigen