Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1367
Zahlenebene wissen, daß sie genau dann zusammenhängend sind, wenn sie
wegzusammenhängend sind. Die Begriffe “offen” und “abgeschlossen” müssen
dabei dann allerdings in Bezug auf die Spurtopologie verstanden werden.
Beweis mit dem topologischen Zusammenhangsbegriff. Die nicht-isolierten Nullstellen
einer stetigen komplexwertigen Funktion bilden eine abgeschlossene
Teilmenge ihres Definitionsbereichs, denn jeder Punkt aus dem Abschluß dieser
Menge ist Grenzwert einer Folge von Nullstellen und damit selbst eine
nicht-isolierte Nullstelle. Nach 1.8.2 bilden im Fall holomorpher Funktionen
die nicht-isolierten Nullstellen jedoch auch eine offene Teilmenge. Ist der Definitionsbereich
wegzusammenhängend, so sind nach IV.3.4.16 entweder alle
seine Punkte nicht-isolierte Nullstellen oder keiner. Besitzt die Menge aller
Nullstellen aber einen Häufungspunkt, so sind wir notwendig im ersten Fall
und unsere Funktion ist die Nullfunktion.
Übung 1.8.8. Eine stetige komplexwertige Funktion auf der reellen Achse besitzt
höchstens eine Fortsetzung auf die abgeschlossene obere Halbebene, die
sowohl stetig ist auf der abgeschlossenen oberen Halbebene als auch holomorph
auf der offenen oberen Halbebene. Man zeige auch, daß nicht jede
stetige komplexwertige Funktion auf der reellen Achse in dieser Weise fortgesetzt
werden kann. Hinweis: Spiegelungsprinzip 1.6.13.
Korollar 1.8.9 (Identitätssatz). Stimmen zwei auf einer wegzusammenhängenden
offenen Menge definierte holomorphe Funktionen überein auf einer
Teilmenge mit einem Häufungspunkt in besagter offener Menge, so sind
sie gleich.
Beweis. Man wende das vorhergehende Korollar 1.8.5 an auf die Differenz
unserer Funktionen.
Beispiel 1.8.10. Die komplexe Exponentialfunktion ist die einzige holomorphe
Funktion C → C, die auf der reellen Achse mit der reellen Exponentialfunktion
übereinstimmt.
Ergänzende Übung 1.8.11. Man zeige, daß sich die auf dem offenen Einheitskreis
durch die Reihen
k≥1 zk /kn definierten Funktionen holomorph auf das
Komplement von R≥1 in der komplexen Zahlenebene fortsetzen lassen. Die
zugehörigen Funktionen heißen n-Logarithmen und werden Ln(z) notiert.
Insbesondere den Dilogarithmus L2 trifft man des öfteren.
1.8.12. Unter einer biholomorphen Identifikation zweier offener Teilmengen
der komplexen Zahlenebene versteht man eine holomorphe Bijektion mit
holomorpher Umkehrabbildung. Wie wir in 1.8.14 oder genauer 1.8.18 zeigen
werden, ist die Zusatzforderung, die Umkehrabbildung möge auch holomorph
sein, hier sogar überflüssig.