Analysis

788 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
mit q erklärt durch ψ(q) = f(x), wo die letzte Gleichung daher kommt, daß
gilt ζψ = idV , denn damit ist df(x) ζ : Tf(x)N → V notwendig invers zu
dq ψ : V ∼ → Tf(x)N.
Beispiel 1.6.6. Für γ : I → M eine Abbildung von einem halboffenen Intervall
I ⊂ R in eine Mannigfaltigkeit M wird unsere lineare Abbildung
dtγ : R → Tγ(t)M natürlich gegeben durch die Multiplikation mit einem
wohlbestimmten Vektor aus Tγ(t)M, den man in Anlehnung an IV.1.2.13
wieder
(dpγ)(1) = γ ′ (p) = ˙γ(p)
notiert und den Geschwindigkeitsvektor nennt.
Übung 1.6.7. Man zeige, daß für n ∈ Z das Differential beim neutralen Element
des Potenzierens auf der Kreislinie S 1 → S 1 , z ↦→ z n die Multiplikation
mit n auf dem Tangentialraum ist.
Satz 1.6.8 (Homomorphismen von Matrix-Liegruppen). Jeder stetige
Homomorphismus ϕ : G → H von Matrix-Liegruppen ist glatt und sein Differential
beim neutralen Element deϕ ist ein Homomorphismus von Liealgebren
mit der Eigenschaft exp ◦ deϕ = ϕ ◦ exp.
1.6.9. Etwas ausführlicher geschrieben behauptet die Formel aus dem Satz,
daß das Diagramm
Lie G deϕ
exp
G
ϕ
Lie H
exp
H
kommutiert. Der Satz gilt auch für abstrakte Liegruppen und wird in dieser
Allgemeinheit in 4.8.8 formuliert. Der Beweis bleibt derselbe.
Beispiel 1.6.10. Man erinnere sich an die Erkenntnis aus IV.1.5.8, nach der
das Differential an die Determinante bei der Einheitsmatrix die Spur ist. Als
Korollar aus unserem Satz erkennen wir damit, daß das Diagramm
Mat(n × n; C)
exp
GL(n; C)
tr
det
C
exp
kommutiert, was wir in 1.2.16 bereits elementar gezeigt hatten. Umgekehrt
kann man aus diesem Diagramm auch unschwer folgern, daß das Differential
an die Determinante bei der Einheitsmatrix die Spur sein muß.
C ×