Analysis

574 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Betrachten wir andererseits unsere Definition
alt(f1, . . . , fn)(v1, . . . , vn) =
sgn(τ)f1(vτ(1)) . . . fn(vτ(n))
τ∈Sn
für n = p, q und setzen in die Definition von ∧ ein, so ergibt sich mithilfe
unserer Zerlegung Sp,q × (Sp × Sq) ∼ → Sp+q wie gewünscht
alt(f1, . . . , fp) ∧ alt(fp+1, . . . , fp+q) = alt(f1, . . . , fp, fp+1, . . . , fp+q)
Die Bilinearität von ∧ zeigt dann weiter, daß die Multilinearform ω ∧ η auch
im allgemeinen alternierend ist, so daß unsere Formel für ∧ in der Tat eine
Abbildung Alt p V × Alt q V → Alt p+q V mit den geforderten Eigenschaften
liefert.
Lemma 7.1.12 (Graduierte Kommutativität des Dachprodukts). Sei
V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Für beliebige ω ∈ Alt p V und η ∈
Alt q V gilt ω ∧ η = (−1) pq η ∧ ω. Bezeichnet |ω| den Grad von ω, also |ω| = p
für ω ∈ Alt p , so können wir diese Regel auch schreiben in der Gestalt
ω ∧ η = (−1) |ω||η| η ∧ ω
Beweis. Aus 7.1.8 folgt sofort fσ(1) ∧ . . . ∧ fσ(n) = (sgn σ)f1 ∧ . . . ∧ fn für jede
Permutation σ ∈ Sn und alle f1, . . . , fn ∈ V ⊤ . Die Permutation σ ∈ Sp+q, die
die ersten p Einträge an den Schluß schiebt und die letzten q Einträge an den
Anfang, hat aber nach ?? das Signum sgn(σ) = (−1) pq . Das Lemma folgt so
zunächst für ω, η iterierte Dachprodukte und dann auch im Allgemeinen.
7.1.13 (Funktorialität alternierender Multilinearformen). Zu jeder linearen
Abbildung L : V → W bilden wir wie in ?? ihre transponierte Abbildung
L ⊤ : W ⊤ → V ⊤ , f ↦→ f ◦ L und allgemeiner auch die linearen
Abbildungen
L ⊤ : Alt p W → Alt p V
ω ↦→ ω ◦ (L × . . . × L)
mit L × . . . × L wie in ??, als da heißt (L ⊤ ω)(v1, . . . , vp) = ω(Lv1, . . . , Lvp).
Aus den Definitionen folgen leicht die Formeln id ⊤ = id und (L ◦ M) ⊤ =
M ⊤ ◦ L ⊤ für die transponierten Abbildungen sowie die Verträglichkeit mit
dem Dachprodukt
L ⊤ (ω ∧ η) = (L ⊤ ω) ∧ (L ⊤ η)
Ergänzung 7.1.14. In der Sprache der Kategorientheorie ?? bilden demnach
für jedes p die Zuordnungen V ↦→ Alt p V , L ↦→ L ⊤ einen kontravarianten
Funktor Alt p von der Kategorie der k-Vektorräume in sich selber, dessen Effekt
auf Morphismen ich nur der Bequemlichkeit der Notation halber L ↦→ L ⊤