Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1233
Übung 3.9.2. Fassen wir ein glattes Kovektorfeld α auf einer Mannigfaltigkeit
M auf als eine glatte Abbildung α : M → T ∗ M in das Kotangentialbündel
und holen das kanonische Kovektorfeld unter dieser Abbildung zurück, so
erhalten wir gerade α selber, in Formeln α ∗ (ϑ) = α oder in einer anderen
Notation α : α ❀ ϑ.
Übung 3.9.3. Wohin? Braucht Rückzug! Gegeben ein glattes Vektorbündel
π : E ↠ M erhalten wir eine kurze exakte Sequenz
π ∗ E ↩→ TE ↠ π ∗ TM
von Vektorbündeln auf E, indem wir die erste Abbildung mithilfe des Differentials
der Einbettungen der Fasern und die zweite Abbildung mithilfe des
Differentials der Projektion π in hoffentlich offensichtlicher Weise erklären.
3.9.4 (Funktorialität der kanonischen Formen). Ist ϕ : M → N ein
glatterMorphismus von Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir ein kommutatives
Diagramm
T ∗ M
ϕ∗T ∗ d
N
⊤ϕ c
∗
T N
πM
π
πN
M M ϕ
N
indem wir links oben für alle x ∈ M die zum Differential dxϕ : TxM →
Tϕ(x)N transponierte Abbildung d⊤ x ϕ : (ϕ∗T ∗ N)x = T ∗ ϕ(x)N → T ∗ xM nehmen.
Für unsere kanonischen Formen gilt dann
(d ⊤ ϕ) ∗ ϑ M = c ∗ ϑ N
(d ⊤ ϕ) ∗ ω M = c ∗ ω N
Um das einzusehen reicht es, die erste Formel zu zeigen, die Zweite erhält man
als deren äußere Ableitung. Nun stimmen aber beide Seiten der behaupteten
Identität per definitionem überein mit demjenigen Kovektorfeld auf dem nach
M zurückgeholten Kotangentialbündel von N, das jedem Tangentialvektor
v ∈ Tu(ϕ ∗ T ∗ N) für u = (x, ζ) ∈ ϕ ∗ T ∗ N einem Paar mit x ∈ M und ζ ∈
T ∗
ϕ(x)N, den Wert von ζ auf dem Bild von v unter dxϕ ◦ duπ zuordnet. Etwas
ausführlicher können wir auch rechnen
((d ⊤ ϕ) ∗ ϑ M )u = ϑ M
(d ⊤ x ϕ)(ζ) ◦ du(d ⊤ ϕ)
= (d ⊤ x ϕ)(ζ) ◦ πM ◦ du(d ⊤ ϕ)
= ((d ⊤ x ϕ)(ζ)) ◦ duπ
= ζ ◦ dxϕ ◦ duπ
= ζ ◦ dπN ◦ duc
= (c ∗ ϑ N )u