Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 183
Satz 4.3.2 (Notwendige Bedingung für ein Extremum). Nimmt eine
reellwertige Funktion, die auf einer offenen Teilmenge der reellen Zahlen
definiert ist, an einem Punkt dieser offenen Teilmenge ihr Maximum oder
ihr Minimum an, und ist sie dort auch differenzierbar, so verschwindet an
diesem Punkt ihre Ableitung.
4.3.3. Die Bedingung, unsere Teilmenge sei offen, ist an dieser Stelle wesentlich:
Gegeben reelle Zahlen a < b nimmt etwa die Funktion x ↦→ x auf dem
Intervall [a, b] ihr Minimum bei a und ihr Maximum bei b an, aber die Ableitung
unserer Funktion verschwindet weder bei a noch bei b. Für Minima oder
Maxima einer differenzierbaren Funktion f : [a, b] → R kommen ganz allgemein
nach unserem Satz nur in Frage: Einerseits Endpunkte des Intervalls,
und andererseits die Punkte im Innern des Intervalls, an denen die Ableitung
verschwindet. Mit etwas Glück können wir unter diesen Punkten dann durch
Ausprobieren herauskriegen, wo das Minimum und das Maximum wirklich
angenommen werden.
Beweis. Bezeichne U ⊂ R unsere offene Teilmenge und f : U → R unsere
Funktion. Nimmt f ein Maximum an bei p ∈ U, so gilt für die Sekantensteigungsfunktion
ϕ(x) = f(x)−f(p)
offensichtlich ϕ(x) ≥ 0 für x < p und
x−p
ϕ(x) ≤ 0 für x > p. Wenn der Grenzwert der Sekantensteigungen existiert, so
folgt mit 3.3.22 notwendig 0 ≤ limx↗p ϕ(x) = limx→p ϕ(x) = limx↘p ϕ(x) ≤ 0
und damit ist dann dieser Grenzwert Null. Nimmt f ein Minimum an bei p,
so argumentiert man analog.
Übung 4.3.4. An welchen Stellen nimmt die Funktion [−1, 2] ↦→ R gegeben
durch x ↦→ |2 − x 2 | ihr Minimum und Maximum an?
Beispiel 4.3.5. Das Brechungsgesetz behauptet, daß das Verhältnis vom
Sinus des Eintrittswinkels zum Sinus des Austrittswinkels eines Lichtstrahls
beim Übergang zwischen zwei Medien, sagen wir Luft und Wasser, konstant
ist. Wir leiten es nun ab aus dem sogenannten Fresnel’schen Prinzip,
nach dem ein Lichtstrahl “stets den schnellsten Weg nimmt”. Ist sagen wir
die Lichtgeschwindigkeit in Wasser das γ-fache der Lichtgeschwindigkeit in
Luft, so sollte nach diesem Prinzip der Lichtstrahl mit den Bezeichnungen
aus nebenstehendem Bild bei dem x in das Wasser eintauchen, für das der
Ausdruck √ a 2 + x 2 + γ b 2 + (L − x) 2
minimal wird. Ableiten liefert dafür die notwendige Bedingung
2x
2 √ a2 −2(L − x)
+ γ
+ x2 2 b2 = 0
+ (L − x) 2
und damit steht das Brechnungsgesetz sin ϕ = γ sin ϕ ′ auch schon da.