Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 849
3.10.2. Wir zeigen in 3.11.7, daß eine stetige Abbildung zwischen lokal kompakten
Hausdorffräumen eigentlich ist genau dann, wenn das Urbild jedes
Kompaktums kompakt ist.
Lemma 3.10.3 (Eigentliche Abbildungen auf einen Punkt). Ein topologischer
Raum ist kompakt genau dann, wenn die konstante Abbildung von
besagtem Raum auf den einpunktigen Raum eigentlich ist.
Beweis. Sei X kompakt und Z beliebig. Ich denke mir X vertikal und Z
horizontal. Sei A ⊂ V X × Z abgeschlossen und z ∈ Z gegeben derart, daß A
die vertikale Faser bei z nicht trifft, in Formeln A ∩ (X × {z}) = ∅. So gibt
es für jedes x ∈ X offene Umgebungen Ux ⊂◦ X von x und Vx ⊂◦ Z von z mit
A ∩ (Ux × Vx) = ∅. Endlich viele Ux überdecken nun aber X und der Schnitt
der zugehörigen Vx ist eine offene Umgebung von z, die die Projektion von A
nicht trifft. Also ist die konstante Abbildung von einem Kompaktum auf einen
einpunktigen Raum eigentlich. Die Umkehrung ist für uns weniger wichtig.
Um sie zu zeigen, betrachten irgendein System abgeschlossener Teilmengen
A ⊂ P(X) mit nichtleeren endlichen Schnitten und müssen nach 3.3.13 nur
zeigen, daß auch sein gesamter Schnitt nicht leer ist. Dazu bilden wir den
Raum
Z = X ⊔ {∞}
mit der Topologie, für die die offenen Teilmengen gerade alle Teilmengen
sind, die entweder ∞ vermeiden oder ein A ∈ A umfassen. Aufgrund unserer
Annahme an A liegt ∞ im Abschluss von X ⊂ Z. Betrachten wir die Diagonale
∆ ⊂ X × Z, so muß das Bild ihres Abschlusses ¯ ∆ unter der Projektion
auf die zweite Koordinate ganz Z sein. Es gibt also ein x ∈ X mit (x, ∞) ∈ ¯ ∆
und daraus folgt sofort x ∈
A∈A A.
Übung 3.10.4 (Die Eigenschaft “eigentlich” ist lokal in der Basis). Sei
f : X → Y stetig und U ⊂ P(Y ) eine offene Überdeckung von Y . Genau dann
ist f eigentlich, wenn die induzierten Abbildungen f −1 (U) → U eigentlich
sind für alle U ∈ U.
Übung 3.10.5. Die Verknüpfung eigentlicher Abbildungen ist eigentlich. Eine
Einbettung ist eigentlich genau dann, wenn sie abgeschlossen ist. Ist f ◦ g
eigentlich und g surjektiv, so ist auch f eigentlich. Landet f in einem Punkt,
so spezialisiert die letzte Behauptung zur Aussage, daß stetige Bilder von
Kompakta stets kompakt sind.
Ergänzung 3.10.6. Leser, die bereits mit Faserprodukten ?? vertraut sind,
werden leicht zeigen können, daß gegeben eine eigentliche Abbildung X → Y
und eine beliebige stetige Abbildung Z → Y auch die erweiterte Abbildung