Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1291
Beispiel für eine fast überall aber nicht im Mittel konvergierende Folge auf
(X, M, µ) = ([0, 1], B, λ) bildet die Folge der Produkte mit n der charakteristischen
Funktionen der Intervalle [0, 1/n].
4.6.3. Bei allen drei Arten von Grenzwerten sind die Grenzwerte wohlbestimmt
als fast überall definierte Funktionen, wenn sie denn existieren. Das
ist nur im Fall stochastischer Konvergenz nicht offensichtlich. Konvergiert
jedoch eine Folge stochastisch sowohl gegen f als auch gegen g, so stimmen
f und g fast überall überein, da ja gilt
µ(|f − g| > 2ε) ≤ µ(|f − fn| > ε) + µ(|g − fn| > ε)
für alle n ∈ N und ε > 0.
Lemma 4.6.4. Sei (X, M, µ) ein Maßraum. Konvergiert eine Folge meßbarer
reeller Funktionen (fn)n∈N auf X stochastisch gegen eine meßbare reelle
Funktion f, so konvergiert eine geeignete Teilfolge fast überall gegen f.
Beweis. Wir finden natürliche Zahlen n(1) < n(2) < . . . mit der Eigenschaft
µ(|fn(i) − f| > 1/i) < 2 −i . Setzen wir
Ai = {x ∈ X | |fn(i)(x) − f(x)| > 1/i}
so gilt also µ(Ai) < 2 −i und die Vereinigung A>i = Ai+1 ∪ Ai+2 ∪ . . . hat
ein Maß µ(A>i) < 2 −i . Die Folge der fn(i) konvergiert nun aber offensichtlich
punktweise außerhalb des Schnittes aller µ(A>i) und damit außerhalb einer
Nullmenge.
4.6.5 (Satz über stochastische dominierte Konvergenz). Der Satz über
dominierte Konvergenz IV.6.5.10 bleibt gültig, wenn wir statt punktweiser
Konvergenz allgemeiner nur stochastische Konvergenz fordern. Haben wir
etwa fn → f stochastisch und ist g eine dominierende Funktion und ε > 0
gegeben, so finden wir mit IV.6.4.17 ein α = αε > 0 mit der Eigenschaft
µ(A) < α ⇒
A
gµ < ε für meßbares A. Weiter finden wir mit IV.6.4.18
ein β = βε > 0 mit der Eigenschaft inf(g, β)µ < ε. Ist n so groß, daß gilt
µ(|fn − f| > β) < α, und bezeichnen wir diese “Ausnahmemenge” mit A, so
folgt
|fn − f| µ ≤ |fn − f| µ + 2 gµ ≤ 3ε
X
X\A
A
4.7 Markov-Ketten
4.7.1. Gegeben sei eine endliche Menge E, deren Elemente Zustände heißen
mögen. Gegeben sei weiter eine (E ×E)-Matrix Q mit Einträgen in [0, 1] und