Analysis

52 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
2.2.18. Ist f : X → Y eine Abbildung, so ist die Abbildung f : X → f(X),
x ↦→ f(x) stets surjektiv. Der Leser möge entschuldigen, daß wir hier zwei
verschiedene Abbildungen mit demselben Symbol f bezeichnet haben. Das
wird noch öfter vorkommen. Überhaupt ignorieren wir, gegeben Mengen X, Y
und eine Teilmenge Z ⊂ Y , im folgenden meist den Unterschied zwischen
“Abbildungen von X nach Y , deren Bild in Z enthalten ist”und“Abbildungen
von X nach Z”.
Ergänzung 2.2.19. Eine Abbildung f : X → P(X) von einer Menge in ihre
Potenzmenge kann nie surjektiv sein. In der Tat, betrachten wir in X die
Teilmenge A = {x ∈ X | x ∈ f(x)}, so kann es kein y ∈ X geben mit
f(y) = A, denn für solch ein y hätten wir entweder y ∈ A oder y ∈ A, und
aus y ∈ A alias y ∈ f(y) folgte y ∈ A, wohingegen aus y ∈ A alias y ∈ f(y)
folgte y ∈ A.
Beispiele 2.2.20. Unsere Abbildung q : Z → Z, n ↦→ n 2 ist weder injektiv
noch surjektiv. Die Identität id : X → X ist stets bijektiv. Sind X und Y
endliche Mengen, so gibt es genau dann eine Bijektion von X nach Y , wenn
X und Y dieselbe Kardinalität haben, in Formeln |X| = |Y |.
Satz 2.2.21. Seien f, f1 : X → Y und g, g1 : Y → Z Abbildungen.
1. Ist g ◦ f injektiv, so ist f injektiv.
2. Sind g und f injektiv, so auch g ◦ f.
3. Genau dann ist g injektiv, wenn aus g ◦ f = g ◦ f1 schon folgt f = f1.
Beweis. Übung. Besonders elegant ist es, zunächst die letzte Aussage zu zeigen,
und dann die vorderen Aussagen ohne weitere Betrachtung von Elementen
zu folgern.
Satz 2.2.22. Seien f, f1 : X → Y und g, g1 : Y → Z Abbildungen.
1. Ist g ◦ f surjektiv, so ist g surjektiv.
2. Sind g und f surjektiv, so auch g ◦ f.
3. Genau dann ist f surjektiv, wenn aus g ◦ f = g1 ◦ f schon folgt g = g1.
Beweis. Übung. Besonders elegant ist es, zunächst die letzte Aussage zu zeigen,
und dann die vorderen Aussagen ohne weitere Betrachtung von Elementen
zu folgern.