Analysis

1010 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Definition 7.7.4. Eine affine Spiegelungsgruppe heißt essentiell genau dann,
wenn ihre Translationen den Raum aller Richtungsvektoren aufspannen.
Definition 7.7.5. Zwei affine Spiegelungsgruppen (W, E) und (W ′ , E ′ ) heißen
isomorph genau dann, wenn es einen affinen Isomorphismus E ∼ → E ′
gibt, unter dem sich W und W ′ entsprechen.
7.7.6. Gegeben affine Spiegelungsgruppen (W1, E1) und (W2, E2) ist auch
(W1 × W2, E1 × E2) eine affine Spiegelungsgruppe in offensichtlicher Weise.
Satz 7.7.7 (Abspalten eines maximalen endlichen Faktors). Jede affine
Spiegelungsgruppe (W, E) ist isomorph zu einem Produkt
(W, E) ∼ = (Wa, Ea) × (Wf, Ef)
einer essentiellen affinen Spiegelungsgruppe (Wa, Ea) mit einer endlichen
Spiegelungsgruppe (Wf, Ef), und die Isomorphieklassen derartiger Faktoren
sind durch (W, E) eindeutig bestimmt.
Beweis. Wir dürfen nach 7.1.5 annehmen, daß unsere affine Spiegelungsgruppe
orthogonal ist für ein geeignetes Skalarprodukt. Bezeichnet T ⊂ W die
Untergruppe aller Translationen aus W , so bildet der lineare Anteil jeder
Spiegelung das Vektorraumerzeugnis L von T auf sich selbst ab. Folglich
liegt der (−1)-Eigenraum jeder linearisierten Spiegelung entweder in L oder
in L ⊥ . Nennen wir Wa das Erzeugnis der ersteren Spiegelungen und Wf das
Erzeugnis der letzteren, so liefert die Multiplikation offensichtlich einen Iso-
morphismus
Wa × Wf
∼
→ W
Wählen wir e ∈ E beliebig und setzen Ea = e + L und Ef = e + L ⊥ ,
so operiert Wf als translationsfreie affine Spiegelungsgruppe auf Ef und ist
mithin endlich. Der Satz ist bewiesen.