Analysis

802 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Geschwindigkeit −Av durch den Punkt v laufen
P (exp(−tA)v) − P (v)
(AP )(v) = lim
t→0 t
P (v − tAv) − P (v)
= lim
t→0 t
Das bedeutet jedoch gerade das Anwenden des Vektorfelds v ↦→ −Av auf
unsere Funktion P , und bezeichnet aij den Eintrag der Matrix A in der i-ten
Zeile und j-ten Spalte, so bedeutet es das Anwenden des Differentialoperators
(−a11X − a12Y )∂x + (−a21X − a22Y )∂y auf unser Polynom P ∈ C[X, Y ].
Diese Formeln definieren sogar eine komplexlineare Operation der Liealgebra
gl(2; C). Nun beachten wir su(2) ∩ i su(2) = 0 in sl(2; C), so daß die
komplexlineare Erweiterung nach 2.1.26 der Einbettung su(2) ↩→ sl(2; C) auf
su(2)C notwendig eine Injektion und dann mit Dimensionsvergleich sogar eine
Bijektion
su(2)C
∼
→ sl(2; C)
liefert. Unter dieser Identifikation muß dann offensichtlich die aus der Komplexifizierung
unserer reell-linearen Operation von su(2) entstehende komplexlineare
Operation von su(2)C auf L(m) der durch unsere expliziten Formeln
gegebenen komplexlinearen Operation von sl(2; C) entsprechen. Unter unserer
Operation wirken also die Elemente
h =
1 0
, e =
0 −1
0 1
, f =
0 0
0 0
1 0
von sl(2; C) wie die Differentialoperatoren −X∂x + Y ∂y, −Y ∂x und −X∂y.
Insbesondere bilden die Vektoren Y m , XY m−1 , . . . , X m eine Basis von L(m)
aus Eigenvektoren von h zu den Eigenwerten m, m − 2, . . . , −m und e und
f induzieren Isomorphismen zwischen Eigenräumen zu benachbarten Eigenwerten.
Unsere Darstellung für die komplexifizierte Liealgebra ist damit in
der Tat irreduzibel, denn jede von Null verschiedene Unterdarstellung müßte
nach ?? einen Eigenvektor von h enthalten und damit bereits die ganze Darstellung
sein. Um zu zeigen, daß unsere Gruppe keine anderen irreduziblen
komplexen Darstellungen besitzt, reicht es nach 2.1.29, dasselbe für ihre komplexifizierte
Liealgebra zu prüfen. Das zeigen wir gleich anschließend als Satz
2.2.6.
Ergänzung 2.2.5. In der Physik lernt man die hier mit e und f bezeichneten
Elemente auch als Leiteroperatoren oder Kletteroperatoren kennen. Die
aus der Physik vertrauten weniger übersichtlichen Formeln werden Sie jedoch
erst in 2.4.18 sehen, wenn wir ein invariantes Skalarprodukt wählen und zu
einer Orthonormalbasis übergehen. In der Physik rechnet man auch oft mit