Analysis

392 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
3.1.10. Für das Differential von einem Produkt gilt nach 1.4.5 die Produktregel
d(fg) = f dg + g df und für das Differential einer Summe haben wir
d(f +g) = df +dg. Ist speziell X = R n und U ⊂ R n halboffen und bezeichnet
xi : U → R die Restriktion der i-ten Koordinate auf U, so ist dxi : U → (R n ) ∗
konstant die die i-te Koordinate selber. Die Koordinaten bilden nun eine
Basis des Dualraums von R n , folglich läßt sich jedes Kovektorfeld auf U
schreiben in der Gestalt ai dxi mit eindeutig bestimmten ai : U → R.
Ich vermute, daß hier der Ursprung der Bezeichnung als “Differentialform”
zu suchen ist: In gewisser Weise können wir eben unsere Kovektorfelder als
“Linearkombinationen von Differentialen”schreiben. Für eine differenzierbare
Funktion f : U → R auf einer halboffenen Menge U ⊂ R n haben wir dann
df =
n ∂f
dxi
∂xi
i=1
Man prüft das leicht durch Auswerten beider Seiten an einer Stelle p ∈ U und
Anwenden der so entstehenden Linearformen auf alle Vektoren der Standard-
Basis des R n . Speziell haben wir für f : R → R also df = f ′ (x) dx. Ist U
nicht offen, sondern nur halboffen, so sind die partiellen Ableitungen oben
im Sinne unserer Notation 1.2.10 zu verstehen.
3.1.11. Anschaulich gesprochen beschreibt diese Gleichung, wie sich der Funktionswert
der Funktion f in erster Näherung ändert, wenn wir an den Koordinaten
xi wackeln: Genauer gilt bei festen x1, . . . , xn für δx1, . . . , δxn ∈ R
so nah bei Null, daß alles definiert ist, eben
f(x1 + δx1, . . . , xn + δxn) − f(x1, . . . , xn) =
n ∂f
δxi + R(δx1, . . . , δxn)
∂xi
mit einem Rest R, der auch nach dem Teilen durch das Maximum der Beträge
aller δxi noch gegen Null strebt, wenn alle δxi gegen Null streben. Hierbei ist
zu verstehen, daß die fraglichen partiellen Ableitungen an unserer festen Stelle
(x1, . . . , xn) ausgewertet werden sollen, und um die partiellen Ableitungen
zu bilden, müssen die xi natürlich noch als variabel gedacht werden. Vielleicht
wäre es hier konsistenter gewesen, die partiellen Ableitungen ∂if zu notieren
oder sogar (∂if)(x1, . . . , xn) um anzudeuten, daß sie ja an der festen Stelle
(x1, . . . , xn) auszuwerten sind, aber es kommt bei komplizierteren Formeln
auch nicht selten vor, daß größere Präzision insbesondere für fortgeschrittene
Leser nicht zu besserer Verständlichkeit führt. Die Notation δxi könnten wir
zu δi abkürzen, aber dann wirkt die Formel weniger suggestiv. Kürzen wir
auch noch die linke Seite zu δf ab, so können wir unsere Identität mit der in
i=1