Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 971
schnell bewiesen: Zunächst finden wir mit 7.1.5 ein invariantes Skalarprodukt.
Dann finden wir für beliebige Vektoren v, w ∈ V ein x ∈ W derart, daß
der Abstand v − xw kleinstmöglich wird. Dann können v und xw durch
keine Spiegelebene mehr getrennt werden, da für s die Spiegelung an besagter
Spiegelebene sonst aus elementargeometrischen Gründen v und sxw
noch näher aneinander wären. Also liegen v und xw für jede Spiegelebene
in demselben abgeschlossenen Halbraum und damit im Abschluß desselben
Alkoven. Die Freiheit der Operation scheint mir weniger offensichtlich. Um
beim Beweis inhaltsreichere Bilder malen zu können, werden wir sie gleich
in der etwas allgemeineren Situation affiner Spiegelungsgruppen zeigen. Wir
führen diesen Begriff im übernächsten Abschnitt ein. Zunächst treffen wir
jedoch geometrische Vorbereitungen.
7.2 Alkovengeometrie
Definition 7.2.1. Sei E ein affiner Raum über einem angeordneten Körper.
Gegeben x, y ∈ E setzen wir
[x, y] = {x + t(y − x) | 0 ≤ t ≤ 1}
[x, y) = {x + t(y − x) | 0 ≤ t < 1}
(x, y] = {x + t(y − x) | 0 < t ≤ 1}
(x, y) = {x + t(y − x) | 0 < t < 1}
Mengen dieser Gestalt mit x = y nennen wir Geradensegmente, und zwar
abgeschlossene Geradensegmente, wenn beide Endpunkte x, y dazugehören,
und offene Geradensegmente, wenn keiner der beiden Endpunkte
dazugehört. Insbesondere ist [x, x] = (x, x) in diesem Sinne ein abgeschlossenes
Geradensegment. Im Fall eines endlichdimensionalen reellen affinen
Raums sind zwar abgeschlossene Geradensegmente abgeschlossene Teilmengen
des ganzen Raums, offene Geradensegmente jedoch nur offene Teilmengen
in der von ihnen erzeugten affinen Gerade.
7.2.2. Ein affiner Teilraum eines affinen Raums heißt wie in ?? eine Hyperebene
genau dann, wenn sein Richtungsraum die Kodimension Eins hat im
Richtungsraum unseres ursprünglichen affinen Raums.
Definition 7.2.3. Ein System von Hyperebenen in einem affinen Raum über
einem angeordneten Körper heißt lokal endlich genau dann, wenn jedes Geradensegment
in unserem Raum höchstens endlich viele Hyperebenen unseres
Systems trifft.
Lemma 7.2.4. Ein affiner Raum über einem angeordneten Körper kann
nicht durch ein lokal endliches System von Hyperebenen überdeckt werden.