Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 495
Ist nun G eine Stammfunktion von 1/a und B eine Stammfunktion von b, so
folgt für alle s, t ∈ I sofort
G(γ(t))−G(γ(s)) =
γ(t)
γ(s)
dx
a(x) =
t
˙γ(τ)
dτ =
s a(γ(τ))
t
s
b(τ) dτ = B(t)−B(s)
Hier ist G sicher streng monoton. Folglich hat es offenes Bild G(V ) ⊂◦ R, und
bilden wir die Umkehrabbildung G −1 : G(V ) → R, so folgt
γ(t) = G −1 (B(t) + c) ∀t ∈ I
mit der Konstante c = G(γ(s)) − B(s). Umgekehrt prüft man auch ohne
Schwierigkeiten, daß für (s, v) ∈ W ×V die obige Formel für c = G(v)−B(s)
und t ∈ I + B −1 (G(V ) − c) die größte Lösung unserer Differentialgleichung
mit γ(s) = v liefert. Um den Zusammenhang mit der Situation separierter
Variablen im Sinne von 5.1.18 herzustellen, interpretieren wir unsere Gleichung
wie in 5.1.19 als die Suche nach Integralkurven des ebenen Vektorfelds
(z, x) ↦→ (1, a(x)b(z)) und kommen unter der zusätzlichen Annahme, daß
auch b keine Nullstelle habe, mit der in 5.1.17 erläuterten Längenänderung
um c(z, x) = b(z) −1 zum Vektorfeld (z, x) ↦→ (b(z) −1 , a(x)). In dieser Weise
landen wir dann bei der Suche nach den Integralkurven eines Vektorfelds mit
separierten Variablen.
5.1.22. Eine Fülle an weiteren Beispielen und Lösungsmethoden findet man
etwa in [MV00].
5.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
5.2.1. Wir erinnern daran, daß nach 4.1.6 eine Abbildung f zwischen metrischen
Räumen lipschitzstetig heißt genau dann, wenn es eine Konstante
L > 0 gibt mit d(f(x), f(y)) ≤ Ld(x, y) für alle x, y im Ausgangsraum. Eine
Abbildung zwischen metrischen Räumen heißt lokal lipschitzstetig genau
dann, wenn jeder Punkt des Ausgangsraums eine Umgebung besitzt, auf der
unsere Funktion lipschitzstetig ist.
5.2.2. Nach 1.3.5 ist jedes stetig differenzierbare Vektorfeld auf einer offenen
Teilmenge eines normierten Raums lokal lipschitzstetig, deshalb folgt 5.1.11
aus der anschließenden etwas technischeren Version 5.2.6. Die Hauptlast des
Beweises trägt jedoch das folgende Lemma 5.2.3.
Lemma 5.2.3 (Lokale Existenz und Eindeutigkeit). Gegeben X ein
vollständiger normierter reeller Raum, U ⊂◦ X offen und A : U → X ein beschränktes
lipschitzstetiges Vektorfeld existieren zu jedem Anfangswert p ∈ U