Analysis

684 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Übung 2.4.4 (Integration nach komplexen Maßen). Gegeben ein komplexes
Maß µ auf einem Meßraum (X, M) gibt es genau eine Linearform
L 1 (X; |µ|) → C,
f ↦→ fµ
mit der Eigenschaft fµ = fµ1 − fµ2 +i fµ3 −i fµ4 für eine und jede
Darstellung von µ wie in 2.4.3. Man zeige weiter die Abschätzung | fµ| ≤
|f||µ|. Hinweis: Man beginne mit dem Fall, daß f eine Stufenfunktion ist.
Übung 2.4.5 (Produkte komplexer Maße mit Funktionen). Gegeben
ein komplexes Maß µ auf einem Meßraum (X, M) und eine Funktion f ∈
L 1 (X; |µ|) erhalten wir ein weiteres komplexes Maß fµ auf X durch die Vorschrift
(fµ)(A) = [A]f µ für alle meßbaren A ⊂ X,
und dieses Maß hat die Variation |fµ| = |f||µ|. Hinweis: Man beginne mit
dem Fall, daß f eine Stufenfunktion ist. Ist g : X → C eine weitere meßbare
Funktion, so gilt g ∈ L 1 (X; |fµ|) genau dann, wenn fg zu L 1 (X; |µ|) gehört,
und in diesem Fall haben wir die Gleichheit komplexer Maße
g(fµ) = (gf)µ
Übung 2.4.6. Sei (X, µ) ein Maßraum und f ∈ L 1 (X; µ) integrierbar. Ist das
Maß fµ Null, so war f bereits die Null von L 1 (X; µ).
2.4.7 (Produktmaß für komplexe Maße). Bezeichnet X ×Y das Produkt
zweier Meßräume, versehen mit der Produkt-σ-Algebra aus IV.6.6.1, so liefert
das Bilden des Produktmaßes mit zweimaligem Anwenden von 2.2.9 eine
bilineare Abbildung auf den zugehörigen Räumen komplexwertiger Maße
M(X) × M(Y ) → M(X × Y )
(µ, ν) ↦→ µ ⊠ ν
2.4.8. Geht man von diskreten Mengen zu allgemeineren “Räumen” über,
etwa zu reellen affinen Räumen, so gibt es zwei besonders natürliche Verallgemeinerungen
für das Konzept einer komplexwertigen Funktion: Funktionen
und Maße. Gegeben eine Abbildung X → Y können Funktionen auf Y zu
Funktionen auf X zurückgezogen werden, Maße auf X jedoch liefern in der
Gegenrichtung Bildmaße auf Y. Diese zugegebenermaßen vagen Andeutungen
werden im folgenden in speziellen Situationen ausgeführt.
2.4.9 (Bildmaße komplexer Maße). Gegeben eine meßbare Abbildung
f : X → Y von Meßräumen und ein komplexes Maß µ auf X erklärt man