Analysis

1234 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
und damit ist unsere Formel nachgewiesen. Ist speziell ϕ eine Einbettung
und sind q1, . . . , qn lokale Koordinaten auf N derart, daß q1, . . . , qm lokale
Koordinaten auf M liefern, wohingegen qm+1, . . . , qn auf M konstant sind, so
gilt für die Differentiale der zugehörigen Ortskoordinaten q1, . . . , qn auf dem
Kotangentialbündel T ∗ N natürlich
c ∗ dqi =
dqi 1 ≤ i ≤ m;
0 m < i ≤ n.
Sind nun p N 1 , . . . , p N n die zugehörigen Impulskoordinaten auf dem Kotangentialbündel
T ∗ N und p M 1 , . . . , p M m die entsprechend zum Koordinatensystem
q1, . . . , qm von M gehörigen Impulskoordinaten auf T ∗ M, so liefert unsere
Identität
(d ⊤ ϕ) ∗
m
i=1
p M i dqi = c ∗
n
i=1
p N i dqi
und wegen der linearen Unabhängigkeit der dqi an jeder Stelle von ϕ ∗ (T ∗ N)
folgt für die Impulskoordinaten sofort die Identität
p M i ◦ d ⊤ ϕ = p N i ◦ c
Insbesondere gilt für jeden Schnitt s : T ∗ M → ϕ ∗ (T ∗ N) von d ⊤ ϕ also
p M i = p N i ◦ c ◦ s 1 ≤ i ≤ m
qi = qi ◦ c ◦ s 1 ≤ i ≤ m
Die Restriktionen der Ortskoordinaten qi ◦c◦s für i > m sind nach Annahme
konstant, und nur die Restriktionen der“zusätzlichen”Impulskoordinaten p N i ,
also die Funktionen p N i ◦c◦s für i > m, hängen von der Wahl unseres Schnitts
s ab.
3.10 Geodäten
Definition 3.10.1. Sei V ein endlichdimensionaler reeller euklidischer Vektorraum
und M ⊂ V eine glatte eingebettete Mannigfaltigkeit ohne Rand.
Wir versehen M mit der Metrik
dM(x, y) = inf L(γ)
γ ist ein Weg
in M von x nach y
wobei die Länge L(γ) im Sinne von II.7.1.1 zu verstehen ist. Eine Geodäte
von M ist nun eine stetige auf einem halboffenen Intervall I ⊂ R definierte
Abbildung
γ : I → M