Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 543
[0, ∞] annimmt, und dann ein Integral für integrierbare reellwertige Funktionen,
das reelle Werte annimmt. Offensichtlich stimmen im Fall einer nichtnegativen
reellwertigen integrierbaren Funktion diese beiden Integrale überein.
Auf dem Schnitt ihrer Definitionsbereiche liefern unsere beiden Varianten des
Integralbegriffs in anderen Worten dasselbe. Es ist deshalb sinnvoll, für beide
Konzepte dasselbe Symbol zu verwenden. Es gilt jedoch zu beachten, daß man
einer beliebigen meßbaren reellwertigen Funktion im Allgemeinen nicht mehr
sinnvoll ein Integral zuordnen kann: Das gelingt nur bei meßbaren Funktionen
mit nichtnegativen Werten und wenn man ∞ als Wert des Integrals zuläßt.
Wie wir gesehen haben, gelingt dann ja das Integrieren sogar allgemeiner für
alle meßbaren Funktionen mit Werten in [0, ∞]. Man kann hier sogar noch
ein wenig mehr herauskratzen und analog wie oben auch meßbaren Funktionen
mit Werten in [−∞, ∞] sinnvoll ein Integral in (−∞, ∞] zuordnen, wenn
nur ihr Negativteil f− integrierbar ist, aber in dieser Allgemeinheit werde ich
das Integral nie verwenden.
6.5.3. Allgemeiner mag man auch solche Funktionen f : X → R noch “integrierbar”
nennen wollen, die im Sinne der vorhergehenden Definition meßbar
und integrierbar sind in Bezug auf den vervollständigten Maßraum. Diese
Terminologie entspricht vielleicht noch besser dem Sprachempfinden, führt
jedoch leicht zu technischen Verkrampfungen. In den Fällen, in denen die
Integrierbarkeit in Bezug auf den vervollständigten Maßraum gemeint ist,
werde ich stets gesondert darauf hinweisen.
Übung 6.5.4. Auf einem topologischen Raum mit einem Borelmaß ist jede
stetige reellwertige Funktion mit kompaktem Träger integrierbar.
Ergänzung 6.5.5. Gegeben eine reellwertige integrierbare Zufallsvariable X
auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) heißt ihr Integral auch der Erwartungswert
der Zufallsvariable und wird E(X) :=
X(ω)P 〈ω〉 notiert.
Beispiel 6.5.6 (Integrierbarkeit und absolute Konvergenz). Ist I eine
abzählbare Menge, so ist eine Funktion f : I → R integrierbar für das Zählmaß
genau dann, wenn für eine oder gleichbedeutend jede “Abzählung” von I
die Reihe
i∈I f(i) absolut konvergiert. Das Integral unserer Funktion ist in
diesem Fall genau der Grenzwert der Reihe. Ist I eine beliebige Menge, so ist
eine Funktion f : I → R integrierbar für das Zählmaß genau dann, wenn die
Familie der f(i) summierbar ist im Sinne von II.2.5.24, was ja nach II.2.5.26
auch im Wesentlichen absolute Konvergenz bedeutet.
Übung 6.5.7. Man zeige, daß für jede integrierbare Funktion die Menge der
Punkte, auf denen sie nicht den Wert Null annimmt, σ-endlich sein muß.
Lösung: VII.4.5.4.
Ω