Analysis

622 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Teilmenge unseres Raums, die M umfaßt. So existieren die Integrale von ω
über ∂ Mr und von dω über Mr und es gilt
dω = ω
Mr
7.8.25 (Abschwächung der Voraussetzungen). Der Beweis wird wieder
zeigen, daß wir statt der Kompaktheit unserer Mannigfaltigkeit mit Ecken
schwächer nur vorauszusetzen brauchen, daß der Träger der Differentialform
unsere Mannigfaltigkeit in einem Kompaktum trifft. Weiter reicht es anzunehmen,
daß unsere Differentialform auf einer halboffenen Menge definiert
ist, die unsere Mannigfaltigkeit umfaßt, und statt der Bedingung C ∞ an unsere
Mannigfaltigkeit M reicht auch die Bedingung C 2 .
7.8.26. Im allgemeinen gilt der Satz von Stokes keineswegs für nichtkompakte
berandete Mannigfaltigkeiten wie etwa unser Mr. Ist zum Beispiel Q ein Quadrat
in der Ebene ohne die Ecken, so können wir auf einer offenen Menge, die
unser eckenloses Quadrat umfaßt, ein Vektorfeld konstruieren, das den Fluß
eines expandierenden Gases beschreibt, das “durch die Löcher in den Ecken
entweicht” aber dessen Fluß durch die Randkanten des Quadrats verschwindet.
In dieser Allgemeinheit gälte der Satz von Stokes also nicht. Allerdings
müßte unser Gas “mit unendlicher Geschwindigkeit durch die Ecken pfeifen”
und sein Geschwindigkeitsfeld könnte nicht stetig auf besagte Ecken fortgesetzt
werden, weshalb auch die Voraussetzungen für unseren Satz von Stokes
mit Ecken in diesem Fall nicht erfüllt wären. Es gibt noch sehr viel allgemeinere
Versionen des Stokes’schen Satzes mit Ecken, vergleiche etwa [Kön97],
mit denen sich zum Beispiel auch der Fluß durch die Oberfläche eines Ikosaeders
direkt diskutieren ließe. Der hier besprochene Fall scheint mir jedoch
für die meisten Anwendungen ausreichend und hat den Vorteil, daß sowohl
seine Formulierung als auch sein Beweis nur wenig begrifflichen Aufwand benötigen.
Den Fall eines Ikosaeders kann man daraus im übrigen auch noch
erhalten, etwa indem man ihn etwa in Dreieckspyramiden mit einer Ecke im
Ursprung zerlegt.
Beispiel 7.8.27. Ich will noch einmal auf das schon in 7.8.7 besprochene Beispiel
7.5.5 zurückommen, in dem wir den Fluß des Vektorfelds x 2 e3 durch die
obere Hemisphäre H alias das Integral der 2-Form x 2 dx ∧ dy über eben diese
Hemisphäre berechnet hatten. Die Länge der Vektoren unseres Vektorfeldes
x 2 e3 hängt von der Höhe z gar nicht ab. Es scheint mir deshalb offensichtlich,
daß sein Fluß durch die obere Hemisphäre H derselbe ist wie durch die
Einheitskreisscheibe in der xy-Ebene D = {(x, y) | z = 0, x 2 + y 2 < 1}.
Formal können wir das wegen d(x 2 dx ∧ dy) = 0 auch aus dem Satz von Stokes
mit Ecken 7.8.24 folgern, indem wir ihn auf die massive obere Halbkugel
∂ Mr