Analysis

1260 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
eindimensionalen reellen Vektorraum M ⊗ C ∗ ⊗ Z, also eine Abbildung
F : X → Alt 2 ( X) ⊗ M ⊗ C ∗ ⊗ Z
3.16.4. Hier meint M den Vektorraum zum Torsor aller Ruhemassen und C
den Vektorraum aller Ladungen und Z = R ×R>0 Z + den eindimensionalen
reellen Vektorraum aller relativistischen Zeitspannen. Die Beziehung zur üblichen
Darstellung elektromagnetischer Felder diskutieren wir im folgenden
noch ausführlich.
3.16.5. Die Bewegung eines Teilchens wird ja in der Relativitätstheorie ganz
allgemein beschrieben durch eine glatte eindimensionale Untermannigfaltigkeit
K ⊂ X der Raumzeit, seine “Weltlinie”. Wir wollen nun die Weltlinien
sogenannter “geladener Teilchen mit positiver Ruhemasse” in einem elektromagnetischen
Feld beschreiben. Zunächst einmal fordern wir von diesen Weltlinien,
daß ihre Tangentialräume TxK außer dem Nullvektor weder raumartige
noch lichtartige Vektoren enthalten, daß also salopp gesprochen Teilchen
mit positiver Ruhemasse stets unterhalb der Lichtgeschwindigkeit bleiben.
Das hinwiederum bedeutet, daß wir eine bis auf Zeitverschiebung eindeutige
Parametrisierung unserer Weltlinie K nach ihrer “Eigenzeit” finden können:
Genauer bilden wir zum Torsor Z + der relativistischen Zeiteinheiten den
eindimensionalen R-Vektorraum
Z = R ×R>0 Z +
und finden für alle x ∈ K genau einen Diffeomorphismus
γ : Z ∼ → K
mit γ(0) = x und der Eigenschaft, daß dηγ : Z → X jedes z ∈ Z + auf
einen Vektor der durch z repräsentierten Bahn abbildet, und das für alle
η. Anschaulich gesprochen parametrisieren wir damit unsere Weltlinie “nach
dem Stand einer mitgeführten Uhr, die wir so stellen, daß sie bei x auf Null
steht”. Bilden wir dann das Differential von
so erhalten wir eine Abbildung
dγ : Z → X ⊗ Z ∗
η ↦→ dηγ
d 2 γ : Z → X ⊗ (Z ∗ ) ⊗2
η ↦→ d 2 ηγ