Analysis

940 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
natürlich zeigen, daß die Abbildung G × K → G, (g, k) ↦→ t −1 gtkg −1 an
der Stelle (1, 1) surjektives Differential hat. Nun ist aber dieses Differential
gerade die Abbildung
Lie G × Lie K → Lie G
(x , y) ↦→ (Ad t −1 )(x) + y − x
und nach 4.8.26 wissen wir um die Gleichung
Lie K = ker(Ad t − id) = ker(Ad t −1 − id)
Andererseits ist Ad t diagonalisierbar über C nach 2.3.12, es muß ja auch auf
der Restriktion der adjungierten Darstellung von G auf T ein T -invariantes
Skalarprodukt geben, und bezüglich dieses Skalarprodukts ist Ad t dann sogar
unitär. Ebenso ist auch (Ad t) −1 − id über C diagonalisierbar. Für jeden diagonalisierbaren
Endomorphismus f eines endlichdimensionalen reellen oder
komplexen Vektorraums V gilt aber V = ker f ⊕ im f. Diese Identität wenden
wir an auf die Komplexifizierung V = LieC G der Liealgebra von G mit
f = (Ad t) −1 − id und folgern die Surjektivität unseres Differentials zunächst
nach Komplexifizierung, aber damit dann auch schon auf Lie G selbst.
Korollar 6.1.9. In einer kompakten zusammenhängenden Liegruppe ist das
Zentrum der Schnitt aller maximalen Tori.
Beweis. Jedes Element des Zentrums liegt in einem maximalen Torus, also
in jedem dazu konjugierten Torus, also in jedem maximalen Torus. Liegt
umgekehrt ein Element in jedem maximalen Torus, so kommutiert es mit
jedem Element jedes maximalen Torus.
Übung 6.1.10. Die maximalen abelschen Unteralgebren der Liealgebra einer
kompakten Liegruppe sind genau die Liealgebren der maximalen Tori.
Übung 6.1.11. Eine maximale abelsche Unteralgebra einer Liealgebra liefert
eine maximale abelsche Unteralgebra unter jeder Erweiterung des Grundkörpers.
6.2 Klassifikation im Rang Eins
Satz 6.2.1 (Kompakte Liegruppen vom Rang Eins). Jede zusammenhängende
kompakte Liegruppe mit eindimensionalen maximalen Tori ist isomorph
zu genau einer der Liegruppen SO(3), SU(2) oder S 1 .
6.2.2. Die nach 6.1.7 wohldefinierte Dimension eines maximalen Torus in einer
kompakten Liegruppe heißt auch der Rang unserer kompakten Liegruppe,
daher der Name des Satzes. Im folgenden notieren wir für jede Liegruppe
G ihre komplexifizierte Liealgebra im Sinne von 2.1.26 mit LieC G.