Analysis

138 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Da sicher gilt exp(0) = 1, folgt exp(x) exp(−x) = exp(x + (−x)) = 1 für alle
x ∈ R und mithin exp(x) = 0 für alle x ∈ R.
Übung 2.6.13. Man folgere aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
2.6.8 die Formeln exp(−x) = exp(x) −1 , exp(x) > 0 ∀x ∈ R,
exp(n) = e n , exp(nx) = (exp x) n ∀n ∈ Z sowie exp(x/2) = exp(x).
Ergänzende Übung 2.6.14. Der Übersichtlichkeit halber kürzen wir hier im
Vorgriff auf 3.2.15 schon exp(x) = e x ab. Man zeige, daß für alle i, N ∈ N
gilt
i
nN 1
lim
1 −
n→∞ i n
1
Nn−i =
n
N i e−N i!
Dieses Resultat ist in der Stochastik wichtig, wie ich im folgenden ausführen
will. Gegeben λ ∈ R heißt die Funktion i ↦→ λi e−λ /i! ganz allgemein
die Poisson-Verteilung mit Parameter λ. Sie hat die folgende Bedeutung:
Knetet man in einen großen Teig genau nN Rosinen ein und teilt ihn dann
in n Rosinenbrötchen, so ist
1 i
1 Nn−i
1 − die Wahrscheinlichkeit, daß i
n
n
vorgegebene Rosinen in einem fest gewählten Brötchen landen und die restlichen
Rosinen in den anderen Brötchen. Mithin ist nN 1 i
1 Nn−i
1 − die
i n n
Wahrscheinlichkeit, daß in einem fest gewählten Brötchen genau i Rosinen
landen. Ist unser Brötchen klein im Vergleich zum ganzen Teig, so liegt diese
Wahrscheinlichkeit also nahe bei N i e−N /i! oder allgemeiner bei λi e−λ /i!
mit λ der durchschnittlichen Zahl von Rosinen in dem Teigvolumen, das
man für ein Brötchen braucht. Genau genommen stimmt das allerdings nur
für punktförmige Rosinen, denn sonst liefert die Größe des Brötchens eine
obere Schranke für die möglichen Anzahlen der darin verbackenen Rosinen.
Ergänzende Übung 2.6.15. Man berechne die Euler’sche Zahl e bis auf 5
sichere Stellen hinter dem Komma.
Ergänzende Übung 2.6.16. Die Euler’sche Zahl e ist nicht rational. Man zeige
dies, indem man von ihrer Darstellung als Reihe ausgeht und durch geeignete
Abschätzungen nachweist, daß q!e für q ∈ N mit q ≥ 2 nie eine ganze Zahl
sein kann.
Ergänzende Übung 2.6.17. In dieser Übung sollen Sie einen anderen Zugang
zur Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ausarbeiten, den ich in einer
Arbeit von Martin Kneser kennengelernt habe: Man zeige dazu in Ver-
allgemeinerung von 2.6.3, daß für jede reelle Zahl x ∈ R aus limn→∞ xn = x
xn
n
folgt limn→∞ 1 + = exp(x). Mithilfe der Identität
n
1 + x
1 +
n
y
x + y + (xy/n)
= 1 +
n
n
folgere man dann die Funktionalgleichung.