Analysis

660 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Null ausdehnen und darauf die Fouriertransformation anwenden, so erhalten
wir eine Funktion auf dem Raum aller möglichen Tonhöhen, die in der
Nähe der angeschlagenen Tonhöhen sehr große Werte annimmt und sonst
nur sehr kleine Werte, vergleiche 2.1.5. In diesem Sinne ist also das Auflösen
eines Akkordes in einzelne Töne eine Fouriertransformation. Sie ist der Ausgangspunkt
eines Teilgebiets der Mathematik, das man denn auch treffend
als Harmonische Analysis bezeichnet.
Beispiel 2.1.4. Wir berechnen die Fouriertransformierte von f : R → C,
x ↦→ e−|x| und erhalten
f ∧ (y) = 1
√ 2π
= 1
√ 2π
= 1
√ 2π
e −|x| e − i xy dx
∞
= 1 √ 2
2π y2 +1
0 e−(i y+1)x dx + 1 √
2π
1 1 − i y+1 i y−1
0
−∞ e−(i y−1)x dx
Übung 2.1.5. Man berechne die Fouriertransformierte der Rechtecksfunktion
f, die gegeben wird durch die Vorschrift f(x) = 1 für |x| ≤ 1 und Null
sonst, und zeige f ∧ (y) = ( √ 2 sin y)/ √ πy. Man berechne auch die Fouriertransformierten
der Produkte f(x) sin(αx) für α ∈ R und diskutiere den
Zusammenhang mit dem Hören von Akkorden.
Proposition 2.1.6 (Formelsammlung für die Fouriertransformation).
Sei f ∈ L 1 (R n ) eine integrierbare Funktion.
1. Die Fouriertransformierte f ∧ von f ist stetig und beschränkt, genauer
gilt f ∧ (y) ≤ (2π) −n/2 f1 für alle y. In 2.1.14 zeigen wir zusätzlich,
daß die Fouriertransformierte f ∧ einer integrierbaren Funktion f für
y → ∞ stets gegen Null strebt.
2. Für g(x) = f(x) e i α·x mit α ∈ R n haben wir g ∧ (y) = f ∧ (y − α).
3. Für g(x) = f(x − b) mit b ∈ R n haben wir g ∧ (y) = f ∧ (y) e − i b·y .
4. Für g(x) = f(x) haben wir g ∧ (y) = f ∧ (−y).
5. Für g(x) = f(cx) mit c ∈ R × haben wir g ∧ (y) = |c| −n f ∧ (y/c).
6. Ist für ein ν mit 1 ≤ ν ≤ n die Funktion g mit g(x) = xνf(x) auch
integrierbar, so ist f ∧ partiell differenzierbar nach der ν-ten Variablen
und es gilt g∧ ∂f ∧
(y) = i ∂yν (y).